Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1286

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1286

Функция

f(x)

называется возрастающей в точке

x_0

, если в некоторой окрестности

|x-x_0|<\delta

знак приращения функции

\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)

совпадает со знаком приращения аргумента

\Delta x_0=x-x_0

Доказать, что если функция

f(x)

(a<x<b)

возрастает в каждой точке некоторого конечного или бесконечного интервала

(a,b)

, то она является возрастающей на этом интервале.

Доказательство

Идея

Возьмём две произвольные точки

x_1

x_2

из интервала

(a,b)

такие, что

x_1 < x_2

. Нам нужно доказать, что

f(x_1) < f(x_2)

.
Рассмотрим множество

S

, состоящее из таких точек

x \in (x_1, x_2]

, что для всех

t \in (x_1, x]

выполняется строгое неравенство

f(t) > f(x_1)

S = \{ x \in (x_1, x_2] \mid \forall t \in (x_1, x], f(t) > f(x_1) \}

Поскольку функция возрастает в точке

x_1

, найдётся такое

\delta_1 > 0

, что для всех

x \in (x_1, x_1+\delta_1)

выполняется

f(x) > f(x_1)

. Следовательно, множество

S

не пусто.
Так как множество

S

ограничено сверху числом

x_2

, оно имеет точную верхнюю грань. Обозначим

c = \sup S

, причём

c \le x_2

В силу определения множества

S

, для любого

t \in (x_1, c)

справедливо

f(t) > f(x_1)

.
Функция возрастает в точке

c

, а значит существует такое

\delta_c > 0

, что:

f(x) < f(c)

при

x \in (c-\delta_c, c)

f(x) > f(c)

при

x \in (c, c+\delta_c)

.
Выберем точку

t_0 \in (c-\delta_c, c)

. Так как

t_0 < c

, точка

t_0

принадлежит множеству

S

, поэтому

f(t_0) > f(x_1)

.
С другой стороны, из условия локального возрастания в точке

c

следует, что

f(c) > f(t_0)

. Таким образом:

f(c) > f(x_1)

Предположим, что

c < x_2

. Тогда мы можем взять любую точку

t_1 \in (c, c+\delta_c) \cap (c, x_2]

.
Для неё будет выполняться

f(t_1) > f(c) > f(x_1)

.
Это означает, что условие, задающее множество

S

, выполняется и правее точки

c

, а следовательно,

t_1 \in S

, что противоречит тому, что

c

является точной верхней гранью

S

.
Следовательно, наше предположение

c < x_2

неверно, и

c = x_2

Проверка

Теперь применим условие локального возрастания к точке

x_2

. Существует

\delta_2 > 0

такое, что для любого

t_2 \in (x_2-\delta_2, x_2)

выполняется

f(t_2) < f(x_2)

.
Так как

t_2 < x_2 = \sup S

, то

t_2 \in S

, а значит

f(t_2) > f(x_1)

.
Объединяя неравенства, получаем:

f(x_2) > f(t_2) > f(x_1)

Итак,

f(x_1) < f(x_2)

. Ввиду произвольности выбора

x_1

x_2

, функция

f(x)

строго возрастает на всём интервале

(a,b)

Что и требовалось доказать