Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1286

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1286

Функция f(x)f(x) называется возрастающей в точке x0x_0, если в некоторой окрестности ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta знак приращения функцииΔf(x0)=f(x)−f(x0)\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)совпадает со знаком приращения аргументаΔx0=x−x0\Delta x_0=x-x_0Доказать, что если функция f(x)f(x) (a<x<b)(a<x<b) возрастает в каждой точке некоторого конечного или бесконечного интервала (a,b)(a,b), то она является возрастающей на этом интервале.

Доказательство

Возьмём две произвольные точки x1x_1 и x2x_2 из интервала (a,b)(a,b) такие, что x1<x2x_1 < x_2. Нам нужно доказать, что f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).
Рассмотрим множество SS, состоящее из таких точек x∈(x1,x2]x \in (x_1, x_2], что для всех t∈(x1,x]t \in (x_1, x] выполняется строгое неравенство f(t)>f(x1)f(t) > f(x_1):S={x∈(x1,x2]∣∀t∈(x1,x],f(t)>f(x1)}S = \{ x \in (x_1, x_2] \mid \forall t \in (x_1, x], f(t) > f(x_1) \}Поскольку функция возрастает в точке x1x_1, найдётся такое δ1>0\delta_1 > 0, что для всех x∈(x1,x1+δ1)x \in (x_1, x_1+\delta_1) выполняется f(x)>f(x1)f(x) > f(x_1). Следовательно, множество SS не пусто.
Так как множество SS ограничено сверху числом x2x_2, оно имеет точную верхнюю грань. Обозначим c=sup⁡Sc = \sup S, причём c≤x2c \le x_2.
Для любого t∈(x1,c)t\in(x_1,c) по определению супремума найдётся s∈Ss\in S с t<s≤ct<s\le c. Из определения SS поэтому следует f(t)>f(x1)f(t)>f(x_1).
Функция возрастает в точке cc, а значит существует такое δc>0\delta_c > 0, что:
f(x)<f(c)f(x) < f(c) при x∈(c−δc,c)x \in (c-\delta_c, c) и f(x)>f(c)f(x) > f(c) при x∈(c,c+δc)x \in (c, c+\delta_c).
Выберем точку t0∈(max⁡(x1,c−δc),c)t_0\in(\max(x_1,c-\delta_c),c). Так как t0<ct_0 < c, точка t0t_0 принадлежит множеству SS, поэтому f(t0)>f(x1)f(t_0) > f(x_1).
С другой стороны, из условия локального возрастания в точке cc следует, что f(c)>f(t0)f(c) > f(t_0). Таким образом:f(c)>f(x1)f(c) > f(x_1)Предположим, что c<x2c < x_2. Тогда мы можем взять любую точку t1∈(c,c+δc)∩(c,x2]t_1 \in (c, c+\delta_c) \cap (c, x_2].
Для неё будет выполняться f(t1)>f(c)>f(x1)f(t_1) > f(c) > f(x_1).
Это означает, что условие, задающее множество SS, выполняется и правее точки cc, а следовательно, t1∈St_1 \in S, что противоречит тому, что cc является точной верхней гранью SS.
Следовательно, наше предположение c<x2c < x_2 неверно, и c=x2c = x_2.

Проверка

Теперь применим условие локального возрастания к точке x2x_2. Существует δ2>0\delta_2 > 0 такое, что для любого t2∈(max⁡(x1,x2−δ2),x2)t_2\in(\max(x_1,x_2-\delta_2),x_2) выполняется f(t2)<f(x2)f(t_2) < f(x_2).
Так как t2<x2=sup⁡St_2 < x_2 = \sup S, то t2∈St_2 \in S, а значит f(t2)>f(x1)f(t_2) > f(x_1).
Объединяя неравенства, получаем:f(x2)>f(t2)>f(x1)f(x_2) > f(t_2) > f(x_1)Итак, f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2). Ввиду произвольности выбора x1x_1 и x2x_2, функция f(x)f(x) строго возрастает на всём интервале (a,b)(a,b).

Что и требовалось доказать

Демидович № 1286 — решение | Высшая математика — Профиматика