Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1284

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1284

Доказать, что если φ(x)\varphi(x) — монотонно возрастающая дифференцируемая функция и∣f′(x)∣≤φ′(x)при x≥x0,|f'(x)|\le\varphi'(x)\quad\text{при }x\ge x_0,то∣f(x)−f(x0)∣≤φ(x)−φ(x0)при x≥x0|f(x)-f(x_0)|\le\varphi(x)-\varphi(x_0)
\quad\text{при }x\ge x_0Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

Доказательство

Идея

Рассмотрим две вспомогательные функции:g1(x)=φ(x)−f(x)g_1(x) = \varphi(x) - f(x)g2(x)=φ(x)+f(x)g_2(x) = \varphi(x) + f(x)Найдём их производные:g1′(x)=φ′(x)−f′(x)g_1'(x) = \varphi'(x) - f'(x)g2′(x)=φ′(x)+f′(x)g_2'(x) = \varphi'(x) + f'(x)Из заданного в условии неравенства ∣f′(x)∣≤φ′(x)|f'(x)| \le \varphi'(x) следует двойное неравенство:−φ′(x)≤f′(x)≤φ′(x)-\varphi'(x) \le f'(x) \le \varphi'(x)Из него вытекает, что φ′(x)−f′(x)≥0\varphi'(x) - f'(x) \ge 0 и φ′(x)+f′(x)≥0\varphi'(x) + f'(x) \ge 0.
Значит, производные обеих функций g1(x)g_1(x) и g2(x)g_2(x) неотрицательны при x≥x0x \ge x_0. Следовательно, эти функции являются неубывающими на луче [x0,+∞)[x_0, +\infty).
Поскольку функции не убывают, для любого x≥x0x \ge x_0 выполняются неравенства:g1(x)≥g1(x0)  ⟹  φ(x)−f(x)≥φ(x0)−f(x0)g_1(x) \ge g_1(x_0) \implies \varphi(x) - f(x) \ge \varphi(x_0) - f(x_0)g2(x)≥g2(x0)  ⟹  φ(x)+f(x)≥φ(x0)+f(x0)g_2(x) \ge g_2(x_0) \implies \varphi(x) + f(x) \ge \varphi(x_0) + f(x_0)Перегруппируем слагаемые в обоих неравенствах, чтобы выделить разность f(x)−f(x0)f(x) - f(x_0):f(x)−f(x0)≤φ(x)−φ(x0)f(x) - f(x_0) \le \varphi(x) - \varphi(x_0)f(x)−f(x0)≥−(φ(x)−φ(x0))f(x) - f(x_0) \ge -(\varphi(x) - \varphi(x_0))Объединяя эти два результата, получаем требуемое неравенство с модулем:∣f(x)−f(x0)∣≤φ(x)−φ(x0)|f(x) - f(x_0)| \le \varphi(x) - \varphi(x_0)
Геометрическая интерпретация.
Неравенство означает, что для любого x≥x0x \ge x_0 график функции y=f(x)y = f(x) располагается в клиновидной области, ограниченной снизу и сверху кривыми, форма которых задаётся функцией φ(x)\varphi(x):f(x0)−(φ(x)−φ(x0))≤f(x)≤f(x0)+(φ(x)−φ(x0))f(x_0) - (\varphi(x) - \varphi(x_0)) \le f(x) \le f(x_0) + (\varphi(x) - \varphi(x_0))Физически или геометрически это означает, что «скорость» отклонения функции f(x)f(x) от своего начального значения f(x0)f(x_0) ограничена «скоростью» роста мажорирующей функции φ(x)\varphi(x).

Что и требовалось доказать

Демидович № 1284 — решение