Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1275

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\frac{x^2}{2^x}

Решение

Идея

Найдём производную функции, используя правило дифференцирования дроби:

y' = \frac{(x^2)' \cdot 2^x - x^2 \cdot (2^x)'}{(2^x)^2} = \frac{2x \cdot 2^x - x^2 \cdot 2^x \ln 2}{2^{2x}}

Вынесем общий множитель

x \cdot 2^x

в числителе и сократим дробь:

y' = \frac{x(2 - x\ln 2)}{2^x}

Показательная функция

2^x

всегда положительна, поэтому знак производной зависит только от выражения в числителе.
Найдём нули производной:

x_1 = 0, \qquad x_2 = \frac{2}{\ln 2}

Методом интервалов определим знаки

y'

:
1) При

x < 0

имеем

x < 0

2 - x\ln 2 > 0

, откуда

y' < 0

. Функция строго убывает.
2) При

0 < x < \frac{2}{\ln 2}

имеем

x > 0

2 - x\ln 2 > 0

, откуда

y' > 0

. Функция строго возрастает.
3) При

x > \frac{2}{\ln 2}

имеем

x > 0

2 - x\ln 2 < 0

, откуда

y' < 0

. Функция строго убывает.

Включая граничные точки в силу непрерывности, получаем:
Функция возрастает на отрезке

\left[0, \frac{2}{\ln 2}\right]

и убывает на лучах

(-\infty, 0]

\left[\frac{2}{\ln 2}, +\infty\right)