Демидович — задача 1287

1. 1
   Вычисление производной подтверждает этот вывод:$$\begin{aligned}$$
   f'(0)
   &=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\\
   &=\lim_{h\to0}\left(1+h\sin\frac2h\right)=1
   \end{aligned}
2. 2
   Теперь проверим, может ли функция возрастать в целом интервале,
   содержащем нуль. При $x\ne0$$$f'(x)=1+2x\sin\frac2x-2\cos\frac2x$$Рассмотрим последовательность$$x_n=\frac1{\pi n},$$
   \qquad n\in\mathbb NТогда $x_n\to0^+$, а$$\sin\frac2{x_n}=\sin(2\pi n)=0,$$
   \qquad
   \cos\frac2{x_n}=\cos(2\pi n)=1Следовательно,$$f'(x_n)=-1<0$$Возьмём произвольное $\varepsilon>0$. Выберем натуральное $n$
   настолько большим, что$$n>\frac1{\pi\varepsilon}$$Тогда $0<x_n<\varepsilon$, то есть точка $x_n$ лежит внутри
   интервала $(-\varepsilon,\varepsilon)$. Если бы функция росла на
   всём этом интервале, то в точке $x_n$ выполнялось бы
   $f'(x_n)\geqslant0$. Действительно, у возрастающей функции
   разностное отношение$$\frac{f(x_n+h)-f(x_n)}{h}$$не меньше нуля при всех достаточно малых $h\ne0$. При $h>0$
   числитель неотрицателен. При $h<0$ числитель и знаменатель
   неположительны. Значит, предел отношений также не меньше нуля. Но
   $f'(x_n)=-1$, что даёт противоречие. Поэтому функция не возрастает
   ни в одном интервале $(-\varepsilon,\varepsilon)$.
3. 3
   Для построения графика отметим ещё несколько свойств. Функция нечётна,
   поскольку при $x\ne0$$$f(-x)=-f(x)$$Единственным нулём является $x=0$. Действительно, при $x>0$ либо
   $0<x<1$, и тогда уже доказано $f(x)>0$, либо $x\geqslant1$,
   откуда$$0<\frac2x\leqslant2<\pi$$и потому $\sin(2/x)>0$. Нечётность даёт $f(x)<0$ при $x<0$.
   
   При $|x|\to\infty$ используем разложение синуса:$$\begin{aligned}$$
   f(x)-3x
   &=x^2\left(\sin\frac2x-\frac2x\right)=\\
   &=-\frac4{3x}
   +O\left(\frac1{x^3}\right)
   \longrightarrow0
   \end{aligned}Следовательно, $y=3x$ — наклонная асимптота. Касательная в точке
   $(0,0)$ имеет уравнение $y=x$. Вблизи нуля график колеблется
   около этой касательной между параболами$$y=x-x^2,$$
   \qquad
   y=x+x^2Амплитуда колебаний равна $x^2$ и стремится к нулю, тогда как их
   частота неограниченно возрастает.
4. 4

   Построение графика

   Сначала покажем общий вид функции и её наклонную
   асимптоту.
5. 5

   Построение графика

   На общем рисунке малые колебания около нуля почти
   неразличимы, поскольку$$|f(x)-x|=\left|x^2\sin\frac2x\right|\leqslant x^2$$Поэтому далее показан участок в большем масштабе. Для частых колебаний
   берём параметр $t=2/x$. Равномерный шаг по $t$ верно показывает их
   сгущение и не создаёт ложного вертикального отрезка у начала координат.
   
   В обоих рисунках численное построение заканчивается при $|t|=500$,
   то есть при$$|x|=\frac2{500}=0{,}004$$Ещё более мелкие колебания визуально неразличимы; они заключены между
   параболами $y=x-x^2$ и $y=x+x^2$, а значение в нуле показано
   отдельной закрашенной точкой.

Что и требовалось доказать