Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1285

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1285

Пусть функция

f(x)

непрерывна в промежутке

a\le x<+\infty

и сверх того

f'(x)>k>0\quad\text{при }x>a,

где

k

— постоянная.

Доказать, что если

f(a)<0

, то уравнение

f(x)=0

имеет один и только один действительный корень в интервале

\left(a,a-\frac{f(a)}k\right)

Доказательство

Поскольку

f'(x) > k > 0

при

x > a

, производная строго положительна. Следовательно, функция

f(x)

строго монотонно возрастает на луче

[a, +\infty)

и может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Если корень существует, он единственен.

Докажем его существование в указанном интервале. Обозначим правую границу интервала через

x_1

x_1 = a - \frac{f(a)}{k}

Так как по условию

f(a) < 0

k > 0

, дробь

\frac{f(a)}{k}

отрицательна, поэтому

x_1 > a

.
Применим теорему Лагранжа о конечном приращении к отрезку

[a, x_1]

f(x_1) - f(a) = f'(c)(x_1 - a)

где

c \in (a, x_1)

.
Так как

f'(c) > k

, то:

f(x_1) - f(a) > k(x_1 - a)

Подставим в правую часть выражение для

x_1

f(x_1) - f(a) > k \left( a - \frac{f(a)}{k} - a \right) = k \left( -\frac{f(a)}{k} \right) = -f(a)

Перенеся

f(a)

вправо, получаем:

f(x_1) > f(a) - f(a) = 0

Итак, на концах отрезка

[a, x_1]

непрерывная функция

f(x)

принимает значения разных знаков:

f(a) < 0

f(x_1) > 0

.
По теореме Больцано-Коши внутри интервала

(a, x_1)

существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
С учётом строгой монотонности, этот корень ровно один. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать