Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1088

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти дифференциал функции

y

, если:

Задача 1088

y=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|.

Ответ:Во внутренних точках области определения, где

x^2+a>0

x+\sqrt{x^2+a}\ne0

dy=\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}.

Решение

Вычисления проводим во внутренних точках области определения, где

x^2+a>0,\qquadx+\sqrt{x^2+a}\ne0.

При этих условиях подкоренная функция дифференцируема, аргумент логарифма
не равен нулю и все последующие деления допустимы. Найдём производную по
правилу дифференцирования сложной функции:

y' = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a}} \cdot \left(x+\sqrt{x^2+a}\right)'

Отдельно вычислим производную выражения в скобках:

\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+a}} \cdot (x^2+a)' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+a}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}

Приведём полученное выражение к общему знаменателю:

1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{\sqrt{x^2+a} + x}{\sqrt{x^2+a}}

Подставим результат обратно в формулу для

y'

y' = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+a} + x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}

Отсюда дифференциал функции:

dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}

Проверка

Сокращение допустимо при

x^2+a>0

x+\sqrt{x^2+a}\ne0

. При

a>0

эти условия выполнены для всех

x

; при

a=0

исходная функция определена только при

x>0

; при

a<0

конечный дифференциал существует при

|x|>\sqrt{-a}

. В граничных точках

x=\pm\sqrt{-a}

логарифм определён, но конечной производной нет.