Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1088

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|.

Решение

Идея

Найдём производную, применяя правило дифференцирования сложной функции:

y' = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a}} \cdot \left(x+\sqrt{x^2+a}\right)'

Отдельно вычислим производную выражения в скобках:

\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+a}} \cdot (x^2+a)' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+a}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}

Приведём полученное выражение к общему знаменателю:

1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{\sqrt{x^2+a} + x}{\sqrt{x^2+a}}

Подставим результат обратно в формулу для

y'

y' = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+a} + x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}

Отсюда дифференциал функции:

dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}