Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1090

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1090

Найти:а) d(xex);б) d(sin⁡x−xcos⁡x);\text{а) }d(xe^x);
\qquad
\text{б) }d(\sin x-x\cos x);в) d(1x3);г) d(ln⁡xx);\text{в) }d\left(\frac1{x^3}\right);
\qquad
\text{г) }d\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right);д) d(a2+x2);е) d(x1−x2);\text{д) }d\left(\sqrt{a^2+x^2}\right);
\qquad
\text{е) }d\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right);ж) dln⁡(1−x2);з) d(arccos⁡1∣x∣);\text{ж) }d\ln(1-x^2);
\qquad
\text{з) }d\left(\arccos\frac1{|x|}\right);и) d[sin⁡x2cos⁡2x+12ln⁡∣tan⁡(x2+π4)∣].\text{и) }d\left[\frac{\sin x}{2\cos^2x}
+\frac12\ln\left|\tan\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right|\right].

Решение

Напомним, что дифференциал функции y=f(x)y = f(x) вычисляется по формуле dy=f′(x) dxdy = f'(x)\,dx. Найдём производные для каждой из заданных функций.

Пункт а)

Для функции y=xexy = xe^x применим правило дифференцирования произведения:y′=(x)′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(1+x)y' = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = e^x(1+x)Тогда дифференциал равен:d(xex)=ex(1+x) dxd(xe^x) = e^x(1+x)\,dx

Пункт б)

Для функции y=sin⁡x−xcos⁡xy = \sin x - x\cos x:y′=(sin⁡x)′−(xcos⁡x)′=cos⁡x−(cos⁡x−xsin⁡x)=xsin⁡xy' = (\sin x)' - (x\cos x)' = \cos x - (\cos x - x\sin x) = x\sin xДифференциал:d(sin⁡x−xcos⁡x)=xsin⁡x dxd(\sin x - x\cos x) = x\sin x\,dx

Пункт в)

Для функции y=1x3=x−3y = \frac{1}{x^3} = x^{-3}:y′=−3x−4=−3x4y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}Дифференциал:d(1x3)=−3x4 dxd\left(\frac{1}{x^3}\right) = -\frac{3}{x^4}\,dx

Пункт г)

Для функции y=ln⁡xxy = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} воспользуемся правилом дифференцирования частного:y′=(ln⁡x)′x−ln⁡x(x)′(x)2=1xx−ln⁡x⋅12xxy' = \frac{(\ln x)'\sqrt{x} - \ln x (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}Умножим числитель и знаменатель на 2x2\sqrt{x}, чтобы избавиться от многоэтажности:y′=2−ln⁡x2xxy' = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}Дифференциал:d(ln⁡xx)=2−ln⁡x2xx dxd\left(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}\,dx

Пункт д)

Для функции y=a2+x2y = \sqrt{a^2+x^2} применим цепное правило:y′=12a2+x2⋅(a2+x2)′=2x2a2+x2=xa2+x2y' = \frac{1}{2\sqrt{a^2+x^2}} \cdot (a^2+x^2)' = \frac{2x}{2\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}Дифференциал:d(a2+x2)=xa2+x2 dxd\left(\sqrt{a^2+x^2}\right) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\,dx

Пункт е)

Для функции y=x1−x2y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}:y′=1⋅1−x2−x⋅−2x21−x21−x2=1−x2+x21−x21−x2y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}Приведём числитель к общему знаменателю:y′=1−x2+x21−x21−x2=1(1−x2)1−x2=1(1−x2)3/2y' = \frac{\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}Дифференциал:d(x1−x2)=dx(1−x2)3/2d\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}

Пункт ж)

Для функции y=ln⁡(1−x2)y = \ln(1-x^2):y′=11−x2⋅(1−x2)′=−2x1−x2=−2x1−x2y' = \frac{1}{1-x^2} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{1-x^2} = -\frac{2x}{1-x^2}Дифференциал:dln⁡(1−x2)=−2x1−x2 dxd\ln(1-x^2) = -\frac{2x}{1-x^2}\,dx

Пункт з)

Для функции y=arccos⁡1∣x∣y = \arccos\frac{1}{|x|} сначала найдём производную внутренней функции u=1∣x∣=∣x∣−1u = \frac{1}{|x|} = |x|^{-1}. Используем правило (∣x∣)′=sgn⁡x=x∣x∣(|x|)' = \operatorname{sgn} x = \frac{x}{|x|}:u′=−∣x∣−2⋅(∣x∣)′=−1x2⋅x∣x∣=−1x∣x∣u' = -|x|^{-2} \cdot (|x|)' = -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{x}{|x|} = -\frac{1}{x|x|}Тогда производная всей функции:y′=−11−u2⋅u′=−11−1x2⋅(−1x∣x∣)=∣x∣x2−1⋅1x∣x∣=1xx2−1y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot \left( -\frac{1}{x|x|} \right) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}} \cdot \frac{1}{x|x|} = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}Дифференциал:d(arccos⁡1∣x∣)=dxxx2−1d\left(\arccos\frac{1}{|x|}\right) = \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}

Пункт и)

Для функции y=sin⁡x2cos⁡2x+12ln⁡∣tan⁡(x2+π4)∣y = \frac{\sin x}{2\cos^2x} + \frac12\ln\left|\tan\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right| вычислим производную каждого слагаемого отдельно.
Первое слагаемое:(sin⁡x2cos⁡2x)′=12⋅cos⁡x⋅cos⁡2x−sin⁡x⋅2cos⁡x(−sin⁡x)cos⁡4x=cos⁡2x+2sin⁡2x2cos⁡3x\left( \frac{\sin x}{2\cos^2x} \right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x \cdot \cos^2 x - \sin x \cdot 2\cos x(-\sin x)}{\cos^4 x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin^2 x}{2\cos^3 x}Второе слагаемое:(12ln⁡∣tan⁡(x2+π4)∣)′=12⋅1tan⁡(x2+π4)⋅1cos⁡2(x2+π4)⋅12=\left( \frac12\ln\left|\tan\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right| \right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan\left(\frac x2+\frac\pi4\right)} \cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac x2+\frac\pi4\right)} \cdot \frac{1}{2} ==14sin⁡(x2+π4)cos⁡(x2+π4)=12sin⁡(x+π2)=12cos⁡x= \frac{1}{4\sin\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\cos\left(\frac x2+\frac\pi4\right)} = \frac{1}{2\sin\left(x+\frac\pi2\right)} = \frac{1}{2\cos x}Складываем результаты и приводим к общему знаменателю:y′=cos⁡2x+2sin⁡2x2cos⁡3x+12cos⁡x=cos⁡2x+2sin⁡2x+cos⁡2x2cos⁡3x=2(cos⁡2x+sin⁡2x)2cos⁡3x=1cos⁡3xy' = \frac{\cos^2 x + 2\sin^2 x}{2\cos^3 x} + \frac{1}{2\cos x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin^2 x + \cos^2 x}{2\cos^3 x} = \frac{2(\cos^2 x + \sin^2 x)}{2\cos^3 x} = \frac{1}{\cos^3 x}Дифференциал:d[sin⁡x2cos⁡2x+12ln⁡∣tan⁡(x2+π4)∣]=dxcos⁡3xd\left[\frac{\sin x}{2\cos^2x} + \frac12\ln\left|\tan\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right|\right] = \frac{dx}{\cos^3 x}

Проверка

Области применимости формул: а), б) — все xx; в) — x≠0x\ne0; г) — x>0x>0; д) — a2+x2>0a^2+x^2>0; е), ж) — ∣x∣<1|x|<1; з) — ∣x∣>1|x|>1; и) — cos⁡x≠0\cos x\ne0. В пункте д) при a=0a=0 функция равна ∣x∣|x| и в нуле не дифференцируема. В пункте з) исходная функция определена также при x=±1x=\pm1, но конечного дифференциала в этих точках нет.
Демидович № 1090 — решение | Высшая математика — Профиматика