Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1089

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\arcsin\frac xa,\qquad a\ne0.

Решение

Идея

Найдём производную с помощью правила дифференцирования сложной функции:

y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2}} \cdot \left(\frac{x}{a}\right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}

Преобразуем подкоренное выражение:

y' = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{|a|}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{|a|}{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}

Поскольку отношение

\frac{|a|}{a}

равно знаку числа

a

(обозначается

\operatorname{sgn} a

), окончательно получаем:

y' = \frac{\operatorname{sgn} a}{\sqrt{a^2 - x^2}}

Тогда дифференциал функции имеет вид:

dy = \frac{\operatorname{sgn} a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx

Примечание.
В стандартных курсах математического анализа при вычислении подобных интегралов/производных параметр

a

чаще всего полагается строго положительным (

a > 0

). В таком случае

\operatorname{sgn} a = 1

, и формула дифференциала записывается в упрощённом виде:

dy = \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}