Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1097

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1097

В круговом секторе радиус R=100R=100 см и центральный угол α=60∘\alpha=60^\circ. Насколько изменится площадь этого сектора, если:

а) радиус его RR увеличить на 11 см;

б) угол α\alpha уменьшить на 30′30'?

Дать точное и приближённое решения.

Решение

Идея

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:S=12R2α,S = \frac{1}{2} R^2 \alpha,где угол α\alpha выражен в радианах.
Для нашего случая начальные значения равны: R=100R = 100 см, α=60∘=π3\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} рад.
  1. 1
    Точное приращение площади равно разности значений функции в новой и старой точках: ΔS=Snew−Sold\Delta S = S_{new} - S_{old}.
    Приближённое приращение площади вычисляется с помощью дифференциала: ΔS≈dS\Delta S \approx dS.
  2. 2

    Пункт а)

    Радиус увеличивается на 11 см, то есть ΔR=1\Delta R = 1 см. Угол α\alpha остаётся неизменным.

    Точное решение:ΔS=12(R+ΔR)2α−12R2α=α2((R+ΔR)2−R2)=α2(2RΔR+(ΔR)2)\Delta S = \frac{1}{2}(R + \Delta R)^2 \alpha - \frac{1}{2}R^2 \alpha = \frac{\alpha}{2} \left( (R + \Delta R)^2 - R^2 \right) = \frac{\alpha}{2} \left( 2R\Delta R + (\Delta R)^2 \right)Подставим числовые значения:ΔS=π6(2⋅100⋅1+12)=201π6=67π2 см2≈105,24 см2\Delta S = \frac{\pi}{6} \left( 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 \right) = \frac{201\pi}{6} = \frac{67\pi}{2} \text{ см}^2 \approx 105{,}24 \text{ см}^2Приближённое решение (через дифференциал функции по переменной RR):dS=SR′ΔR=(12R2α)R′ΔR=RαΔRdS = S'_R \Delta R = \left( \frac{1}{2} R^2 \alpha \right)'_R \Delta R = R \alpha \Delta RПодставим значения:dS=100⋅π3⋅1=100π3 см2≈104,72 см2dS = 100 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 1 = \frac{100\pi}{3} \text{ см}^2 \approx 104{,}72 \text{ см}^2
  3. 3

    Пункт б)

    Угол уменьшается на 30′30', то есть Δα=−30′=−0,5∘=−π360\Delta \alpha = -30' = -0{,}5^\circ = -\frac{\pi}{360} рад. Радиус RR остаётся неизменным.

    Точное решение:ΔS=12R2(α+Δα)−12R2α=12R2Δα\Delta S = \frac{1}{2} R^2 (\alpha + \Delta \alpha) - \frac{1}{2} R^2 \alpha = \frac{1}{2} R^2 \Delta \alphaПодставим значения:ΔS=12⋅1002⋅(−π360)=5000⋅(−π360)=−500π36=−125π9 см2≈−43,63 см2\Delta S = \frac{1}{2} \cdot 100^2 \cdot \left(-\frac{\pi}{360}\right) = 5000 \cdot \left(-\frac{\pi}{360}\right) = -\frac{500\pi}{36} = -\frac{125\pi}{9} \text{ см}^2 \approx -43{,}63 \text{ см}^2

Проверка

Приближённое решение (через дифференциал функции по переменной α\alpha):dS=Sα′Δα=(12R2α)α′Δα=12R2ΔαdS = S'_\alpha \Delta \alpha = \left( \frac{1}{2} R^2 \alpha \right)'_\alpha \Delta \alpha = \frac{1}{2} R^2 \Delta \alphaКак видно из полученных выражений, поскольку площадь зависит от угла α\alpha линейно, формулы для точного и приближённого приращения полностью совпадают.
Подставим значения:dS=−125π9 см2≈−43,63 см2dS = -\frac{125\pi}{9} \text{ см}^2 \approx -43{,}63 \text{ см}^2
Демидович № 1097 — решение