Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1106

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1106

Сторона квадрата x=2,4x=2{,}4 м ±0,05\pm0{,}05 м. С какими предельной абсолютной и относительной погрешностями можно вычислить площадь этого квадрата?
Ответ:По дифференциалу: 0,240{,}24 м2^2 и около 4,17%4{,}17\%. Точная предельная абсолютная ошибка: 0,24250{,}2425 м2^2. Точная относительная граница: 95/2209≈4,301%95/2209\approx4{,}301\% относительно истинной площади или 97/2304≈4,210%97/2304\approx4{,}210\% относительно вычисленной.

Решение

Обозначим измеренную сторону через x0=2,4x_0=2{,}4 м, а истинную — через x=x0+hx=x_0+h, где ∣h∣⩽0,05|h|\leqslant0{,}05 м. Вычисленная площадь равнаS0=2,42=5,76 м2.S_0=2{,}4^2=5{,}76\ \text{м}^2.По дифференциалу dS=2x0hdS=2x_0h. Поэтому линейные оценки ошибок равны∣dS∣⩽2⋅2,4⋅0,05=0,24 м2,∣dS∣S0⩽0,245,76=124≈4,17%.|dS|\leqslant2\cdot2{,}4\cdot0{,}05=0{,}24\ \text{м}^2,
\qquad \frac{|dS|}{S_0}\leqslant\frac{0{,}24}{5{,}76}=\frac1{24}\approx4{,}17\%.Это приближённые оценки. Для точной предельной ошибки раскроем квадрат:S−S0=2x0h+h2=4,8h+h2.S-S_0=2x_0h+h^2=4{,}8h+h^2.Истинная сторона лежит между 2,352{,}35 и 2,452{,}45. Так как квадрат положительного числа возрастает вместе с числом,Smin⁡=5,76−0,24+0,0025=5,5225,S_{\min}=5{,}76-0{,}24+0{,}0025=5{,}5225,Smax⁡=5,76+0,24+0,0025=6,0025.S_{\max}=5{,}76+0{,}24+0{,}0025=6{,}0025.Ошибки на концах равны 5,76−5,5225=0,23755{,}76-5{,}5225=0{,}2375 и 6,0025−5,76=0,24256{,}0025-5{,}76=0{,}2425. Следовательно, точная предельная абсолютная погрешность составляет 0,24250{,}2425 м2^2.

Если относительную ошибку делить на вычисленную площадь S0S_0, её точная граница равна0,24255,76=972304≈0,04210=4,210%.\frac{0{,}2425}{5{,}76}=\frac{97}{2304}\approx0{,}04210=4{,}210\%.Если знаменателем служит истинная площадь SS, сравниваем крайние значения:S0−Smin⁡Smin⁡=0,23755,5225=952209≈4,301%,\frac{S_0-S_{\min}}{S_{\min}}=\frac{0{,}2375}{5{,}5225}=\frac{95}{2209}\approx4{,}301\%,Smax⁡−S0Smax⁡=0,24256,0025=972401≈4,040%.\frac{S_{\max}-S_0}{S_{\max}}=\frac{0{,}2425}{6{,}0025}=\frac{97}{2401}\approx4{,}040\%.Первое значение больше и является точной предельной относительной ошибкой при таком определении. Различие двух точных относительных границ связано с выбором знаменателя; в первом порядке обе дают 4,17%4{,}17\%.
Демидович № 1106 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика