Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1106

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Сторона квадрата

x=2{,}4

\pm0{,}05

м. С какими предельной абсолютной и относительной погрешностями можно вычислить площадь этого квадрата?

Решение

Идея

Площадь квадрата вычисляется по формуле

S(x) = x^2

.
Абсолютная погрешность

\Delta S

функции приближённо равна её дифференциалу:

\Delta S \approx dS = S'(x) \Delta x = 2x \Delta x

По условию задано значение стороны

x = 2{,}4

и предельная абсолютная погрешность

\Delta x = 0{,}05

.
Тогда предельная абсолютная погрешность площади:

\Delta S \approx 2 \cdot 2{,}4 \cdot 0{,}05 = 4{,}8 \cdot 0{,}05 = 0{,}24 \text{ м}^2

Относительная погрешность

\delta S

определяется как отношение абсолютной погрешности к самому значению:

\delta S = \frac{\Delta S}{S} \approx \frac{2x \Delta x}{x^2} = 2 \frac{\Delta x}{x}

То есть относительная погрешность площади в два раза больше относительной погрешности стороны:

\delta S \approx 2 \cdot \frac{0{,}05}{2{,}4} = \frac{0{,}1}{2{,}4} = \frac{1}{24} \approx 0{,}0417 \text{ (или } 4{,}17\%)