Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1096

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1096

Найтиа) dd(x3)(x3−2x6−x9);б) dd(x2)(sin⁡xx);\text{а) }\frac{d}{d(x^3)}(x^3-2x^6-x^9);
\qquad
\text{б) }\frac{d}{d(x^2)}\left(\frac{\sin x}{x}\right);в) d(sin⁡x)d(cos⁡x);г) d(tan⁡x)d(cot⁡x);\text{в) }\frac{d(\sin x)}{d(\cos x)};
\qquad
\text{г) }\frac{d(\tan x)}{d(\cot x)};д) d(arcsin⁡x)d(arccos⁡x).\text{д) }\frac{d(\arcsin x)}{d(\arccos x)}.

Решение

Производная функции f(x)f(x) по функции g(x)g(x) при g′(x)≠0g'(x)\ne0 вычисляется по цепному правилу:d(f(x))d(g(x))=f′(x)dxg′(x)dx=f′(x)g′(x)\frac{d(f(x))}{d(g(x))} = \frac{f'(x)dx}{g'(x)dx} = \frac{f'(x)}{g'(x)}

Пункт а)

Вычислим дифференциалы числителя и знаменателя:d(x3−2x6−x9)=(3x2−12x5−9x8)dxd(x^3 - 2x^6 - x^9) = (3x^2 - 12x^5 - 9x^8)dxd(x3)=3x2dxd(x^3) = 3x^2dxТогда:dd(x3)(x3−2x6−x9)=(3x2−12x5−9x8)dx3x2dx=3x2(1−4x3−3x6)3x2=1−4x3−3x6\frac{d}{d(x^3)}(x^3-2x^6-x^9) = \frac{(3x^2 - 12x^5 - 9x^8)dx}{3x^2dx} = \frac{3x^2(1 - 4x^3 - 3x^6)}{3x^2} = 1 - 4x^3 - 3x^6Альтернативный способ: Можно сделать замену переменной z=x3z = x^3, тогда выражение примет вид ddz(z−2z2−z3)=1−4z−3z2=1−4x3−3x6\frac{d}{dz}(z - 2z^2 - z^3) = 1 - 4z - 3z^2 = 1 - 4x^3 - 3x^6.

Пункт б)

Дифференциал числителя (используем правило производной дроби):d(sin⁡xx)=xcos⁡x−sin⁡xx2dxd\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}dxДифференциал знаменателя:d(x2)=2x dxd(x^2) = 2x\,dxИх отношение:dd(x2)(sin⁡xx)=xcos⁡x−sin⁡xx2dx2x dx=xcos⁡x−sin⁡x2x3\frac{d}{d(x^2)}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}dx}{2x\,dx} = \frac{x\cos x - \sin x}{2x^3}

Пункт в)

Вычислим дифференциалы тригонометрических функций:d(sin⁡x)=cos⁡x dxd(\sin x) = \cos x\,dxd(cos⁡x)=−sin⁡x dxd(\cos x) = -\sin x\,dxОтношение:d(sin⁡x)d(cos⁡x)=cos⁡x dx−sin⁡x dx=−cot⁡x\frac{d(\sin x)}{d(\cos x)} = \frac{\cos x\,dx}{-\sin x\,dx} = -\cot x

Пункт г)

Аналогично:d(tan⁡x)=dxcos⁡2xd(\tan x) = \frac{dx}{\cos^2 x}d(cot⁡x)=−dxsin⁡2xd(\cot x) = -\frac{dx}{\sin^2 x}Отношение:d(tan⁡x)d(cot⁡x)=dxcos⁡2x−dxsin⁡2x=−sin⁡2xcos⁡2x=−tan⁡2x\frac{d(\tan x)}{d(\cot x)} = \frac{\frac{dx}{\cos^2 x}}{-\frac{dx}{\sin^2 x}} = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tan^2 x

Пункт д)

Вычислим дифференциалы обратных тригонометрических функций:d(arcsin⁡x)=dx1−x2d(\arcsin x) = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}d(arccos⁡x)=−dx1−x2d(\arccos x) = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}Отношение:d(arcsin⁡x)d(arccos⁡x)=dx1−x2−dx1−x2=−1\frac{d(\arcsin x)}{d(\arccos x)} = \frac{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}{-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}} = -1

Проверка

В пункте а) замена z=x3z=x^3 обосновывает ответ и при x=0x=0, где делить на 3x23x^2 нельзя. В пункте б) исходное выражение определено при x≠0x\ne0. В пункте в) формула относится к sin⁡x≠0\sin x\ne0; в пункте г) требуются sin⁡xcos⁡x≠0\sin x\cos x\ne0.

В пункте д) отношение производных получено при ∣x∣<1|x|<1. Но тождество arcsin⁡x=π/2−arccos⁡x\arcsin x=\pi/2-\arccos x показывает, что при выборе нового аргумента z=arccos⁡xz=\arccos x функция имеет вид π/2−z\pi/2-z. Поэтому её производная по zz равна −1-1 и на концах соответствующего отрезка (односторонне).
Демидович № 1096 — решение | Высшая математика — Профиматика