Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1107

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус

R

шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до

1\%

Ответ:Достаточно относительной погрешности радиуса не более

0{,}33\%

. Точная максимальная граница:

\delta=\sqrt[3]{1{,}01}-1

при отсчёте ошибки от истинного радиуса.

Решение

Объём шара

V=4\pi R^3/3

, поэтому

dV=4\pi R^2\,dR,\qquad \frac{dV}{V}=3\frac{dR}{R}.

В первом приближении относительная ошибка объёма втрое больше относительной ошибки радиуса. Это даёт ориентир

1\%/3\approx0{,}333\%

.

Для гарантированной границы обозначим истинный радиус через

R

, измеренный — через

R(1+e)

, где

|e|\leqslant\delta<1

. Тогда отношение вычисленного объёма к истинному равно

(1+e)^3

, а относительная ошибка равна

|(1+e)^3-1|

. Наибольшее значение достигается при

e=\delta

(1+\delta)^3-1=3\delta+3\delta^2+\delta^3.

При

e=-\delta

получается

3\delta-3\delta^2+\delta^3

, что меньше. Поэтому точное условие имеет вид

(1+\delta)^3-1\leqslant0{,}01, \qquad \delta\leqslant\sqrt[3]{1{,}01}-1.

Практически можно взять

\delta=0{,}0033=0{,}33\%

. Проверим:

3\cdot0{,}0033+3\cdot0{,}0033^2+0{,}0033^3 =0{,}0099+0{,}00003267+0{,}000000035937 =0{,}009932705937<0{,}01.

Значит, погрешность радиуса не более

0{,}33\%

действительно обеспечивает требуемую точность объёма.