Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1107

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус

R

шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до

1\%

Решение

Объём шара задаётся формулой:

V = \frac{4}{3}\pi R^3

Прологарифмируем обе части:

\ln V = \ln\left(\frac{4}{3}\pi\right) + 3\ln R

Возьмём дифференциал от обеих частей:

\frac{dV}{V} = 3\frac{dR}{R}

Поскольку дифференциал логарифма функции приближённо равен относительной погрешности (то есть

\delta V \approx \frac{dV}{V}

\delta R \approx \frac{dR}{R}

), получаем связь между относительными погрешностями объёма и радиуса:

\delta V = 3\delta R

По условию относительная погрешность объёма не должна превышать

1\%

, то есть

\delta V \le 0{,}01

. Следовательно:

3\delta R \le 0{,}01 \implies \delta R \le \frac{0{,}01}{3} \approx 0{,}0033

Таким образом, радиус допустимо измерить с относительной погрешностью не более

0{,}33\%