Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1083

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1083

Для функцииf(x)=x3−2x+1f(x)=x^3-2x+1определить:

1) Δf(1)\Delta f(1);

2) df(1)df(1)

и сравнить их, если:а) Δx=1;б) Δx=0,1;в) Δx=0,01.\text{а) }\Delta x=1;
\qquad
\text{б) }\Delta x=0{,}1;
\qquad
\text{в) }\Delta x=0{,}01.

Решение

Идея

По определению приращение функции f(x)f(x) в точке xx равно:Δf(x)=f(x+Δx)−f(x)\Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x)Найдём точное значение функции в точке x=1x=1:f(1)=13−2⋅1+1=0f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + 1 = 0Найдём значение функции в точке 1+Δx1 + \Delta x:f(1+Δx)=(1+Δx)3−2(1+Δx)+1=f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x)^3 - 2(1 + \Delta x) + 1 ==1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3−2−2Δx+1=Δx+3(Δx)2+(Δx)3= 1 + 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 2 - 2\Delta x + 1 = \Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3Тогда приращение функции равно:Δf(1)=Δx+3(Δx)2+(Δx)3−0=Δx+3(Δx)2+(Δx)3\Delta f(1) = \Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 0 = \Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3
  1. 1
    Дифференциал функции в точке xx является главной линейной частью приращения и вычисляется по формуле:df(x)=f′(x)Δxdf(x) = f'(x)\Delta x(приращение независимой переменной часто обозначают как Δx=dx\Delta x = dx).
  2. 2
    Найдём производную функции:f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2Вычислим значение производной и дифференциала в точке x=1x=1:f′(1)=3⋅12−2=1  ⟹  df(1)=1⋅Δx=Δxf'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 = 1 \implies df(1) = 1 \cdot \Delta x = \Delta xСравним значения Δf(1)\Delta f(1) и df(1)df(1) для заданных приращений аргумента Δx\Delta x:
  3. 3

    Пункт а)

    При Δx=1\Delta x = 1:Δf(1)=1+3⋅12+13=5\Delta f(1) = 1 + 3 \cdot 1^2 + 1^3 = 5df(1)=1df(1) = 1Разность (абсолютная ошибка): Δf(1)−df(1)=4\Delta f(1) - df(1) = 4.
  4. 4

    Пункт б)

    При Δx=0,1\Delta x = 0{,}1:Δf(1)=0,1+3⋅(0,1)2+(0,1)3=0,1+0,03+0,001=0,131\Delta f(1) = 0{,}1 + 3 \cdot (0{,}1)^2 + (0{,}1)^3 = 0{,}1 + 0{,}03 + 0{,}001 = 0{,}131df(1)=0,1df(1) = 0{,}1Разность (абсолютная ошибка): Δf(1)−df(1)=0,031\Delta f(1) - df(1) = 0{,}031.
  5. 5

    Пункт в)

    При Δx=0,01\Delta x = 0{,}01:Δf(1)=0,01+3⋅(0,01)2+(0,01)3=0,01+0,0003+0,000001=0,010301\Delta f(1) = 0{,}01 + 3 \cdot (0{,}01)^2 + (0{,}01)^3 = 0{,}01 + 0{,}0003 + 0{,}000001 = 0{,}010301df(1)=0,01df(1) = 0{,}01Разность (абсолютная ошибка): Δf(1)−df(1)=0,000301\Delta f(1) - df(1) = 0{,}000301.

Проверка

Вывод: с уменьшением Δx\Delta x разность между истинным приращением функции и её дифференциалом стремится к нулю быстрее, чем само Δx\Delta x (является бесконечно малой более высокого порядка).
Демидович № 1083 — решение