Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1105

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать приближённую формулу

\sqrt[n]{a^n+x}\approx a+\frac{x}{na^{n-1}}\qquad(a>0),

где

|x|\ll a

.

С помощью этой формулы приближённо вычислить:

\text{а) }\sqrt[3]{9};\qquad\text{б) }\sqrt[4]{80};\qquad\text{в) }\sqrt[7]{100};\qquad\text{г) }\sqrt[10]{1000}.

Решение

Идея

Рассмотрим функцию

f(t) = \sqrt[n]{t} = t^{\frac{1}{n}}

. Воспользуемся формулой линейной аппроксимации функции с помощью дифференциала:

f(t_0 + \Delta t) \approx f(t_0) + f'(t_0)\Delta t

Положим

t_0 = a^n

\Delta t = x

. Вычислим значение функции и её производной в точке

t_0

f(a^n) = \sqrt[n]{a^n} = a \quad (\text{так как } a > 0)

f'(t) = \frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1} \implies f'(a^n) = \frac{1}{n}(a^n)^{\frac{1-n}{n}} = \frac{1}{n}a^{1-n} = \frac{1}{na^{n-1}}

Подставляя эти значения в формулу аппроксимации, получаем требуемую формулу:

\sqrt[n]{a^n+x} \approx a + \frac{x}{na^{n-1}}

1
Используем эту формулу для приближённых вычислений (выбираем $a^n$ так, чтобы оно было ближайшей степенью целого числа):
2
Пункт а)
$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{2^3 + 1}$ . Здесь $n=3$ , $a=2$ , $x=1$ . $\sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{3 \cdot 2^2} = 2 + \frac{1}{12} \approx 2{,}083$
3
Пункт б)
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{3^4 - 1}$ . Здесь $n=4$ , $a=3$ , $x=-1$ . $\sqrt[4]{80} \approx 3 + \frac{-1}{4 \cdot 3^3} = 3 - \frac{1}{108} \approx 2{,}991$
4
Пункт в)
$\sqrt[7]{100} = \sqrt[7]{128 - 28} = \sqrt[7]{2^7 - 28}$ . Здесь $n=7$ , $a=2$ , $x=-28$ . $\sqrt[7]{100} \approx 2 + \frac{-28}{7 \cdot 2^6} = 2 - \frac{4}{64} = 2 - \frac{1}{16} = 1{,}938$
5
Пункт г)
$\sqrt[10]{1000} = \sqrt[10]{1024 - 24} = \sqrt[10]{2^{10} - 24}$ . Здесь $n=10$ , $a=2$ , $x=-24$ . $\sqrt[10]{1000} \approx 2 + \frac{-24}{10 \cdot 2^9} = 2 - \frac{24}{5120} = 2 - \frac{3}{640} \approx 1{,}995$