Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1095

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u,v,w

— дифференцируемые функции от

x

. Найти дифференциал функции

y

, если:

y=\ln\sqrt{u^2+v^2}.

Решение

Упростим выражение с помощью свойств логарифма:

y = \ln\left((u^2+v^2)^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\ln(u^2+v^2)

Найдём дифференциал, применяя правило для сложной функции:

dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2+v^2} \, d(u^2+v^2)

Так как

d(u^2+v^2) = 2u\,du + 2v\,dv

, получаем:

dy = \frac{1}{2(u^2+v^2)} (2u\,du + 2v\,dv) = \frac{u\,du + v\,dv}{u^2+v^2}

Проверка

Равенство применяется при

u^2+v^2>0