Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1100

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближённые значения следующих выражений:

\sin29^\circ.

Решение

Рассмотрим функцию

f(x) = \sin x

. Для применения формул математического анализа аргумент тригонометрической функции необходимо выразить в радианах.
Выберем точку

x_0

, близкую к

29^\circ

, синус которой известен точно:

x_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}

рад.
Тогда приращение аргумента:

\Delta x = 29^\circ - 30^\circ = -1^\circ = -\frac{\pi}{180} \text{ рад}

Значение функции в точке

x_0

f(x_0) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5

Найдём производную функции и её значение в точке

x_0

f'(x) = \cos x \implies f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Вычислим приближённое значение:

\sin 29^\circ \approx 0{,}5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{180}\right) = 0{,}5 - \frac{\pi\sqrt{3}}{360}

Подставляя приближённые значения

\pi \approx 3{,}1416

\sqrt{3} \approx 1{,}7321

, получаем:

\sin 29^\circ \approx 0{,}5 - \frac{3{,}1416 \cdot 1{,}7321}{360} \approx 0{,}5 - 0{,}0151 = 0{,}4849