Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1109

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма числа

x

(x>0)

, если относительная погрешность этого числа равна

\delta

Решение

Задана функция

y = \lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}

.
Абсолютная погрешность функции

\Delta y

оценивается через дифференциал:

\Delta y \approx |y'(x)| \Delta x = \frac{1}{x \ln 10} \Delta x = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{\Delta x}{x}

По условию относительная погрешность аргумента равна

\delta

, то есть

\delta = \frac{\Delta x}{x}

.
Подставляя это в формулу, получаем:

\Delta y \approx \frac{\delta}{\ln 10} = M\delta

где

M = \lg e \approx 0{,}43429

— модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

Проверка

Точная оценка получается так. Пусть истинное число

x>0

, а измеренное

\widetilde x=x(1+e)

, где

|e|\leqslant\delta<1

. Тогда

|\lg\widetilde x-\lg x|=|\lg(1+e)|\leqslant-\lg(1-\delta).

Отрицательное отклонение даёт большую ошибку, поскольку

(1-\delta)(1+\delta)=1-\delta^2\leqslant1

, откуда

-\lg(1-\delta)\geqslant\lg(1+\delta)

. При

\delta\to0

эта точная граница эквивалентна

\delta/\ln10