Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1084

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Уравнение движения даётся формулой

x=5t^2,

где

t

выражается в секундах и

x

— в метрах.

Для момента времени

t=2

с определить

\Delta x

— приращение пути и

dx

— дифференциал пути и сравнить их, если:

\text{а) }\Delta t=1\text{ с};\qquad\text{б) }\Delta t=0{,}1\text{ с};\qquad\text{в) }\Delta t=0{,}001\text{ с}.

Решение

Идея

Найдём точное приращение пути

\Delta x

для произвольного момента времени

t

и приращения

\Delta t

\Delta x = x(t + \Delta t) - x(t) = 5(t + \Delta t)^2 - 5t^2 = 5\left(t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2\right) - 5t^2 = 10t\Delta t + 5(\Delta t)^2

Для фиксированного момента времени

t=2

с формула примет вид:

\Delta x = 10 \cdot 2 \cdot \Delta t + 5(\Delta t)^2 = 20\Delta t + 5(\Delta t)^2

1
Дифференциал пути $dx$ определяется по формуле $dx = x'(t)dt$ , где $dt = \Delta t$ : $dx = (5t^2)'\Delta t = 10t\Delta t$ В момент времени $t=2$ с: $dx = 10 \cdot 2 \cdot \Delta t = 20\Delta t$ Вычислим и сравним эти величины для различных значений $\Delta t$ :
2
Пункт а)
При $\Delta t = 1$ с: $\Delta x = 20 \cdot 1 + 5 \cdot 1^2 = 25 \text{ м}$ $dx = 20 \cdot 1 = 20 \text{ м}$ Разница: $\Delta x - dx = 5$ м.
3
Пункт б)
При $\Delta t = 0{,}1$ с: $\Delta x = 20 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot (0{,}1)^2 = 2 + 0{,}05 = 2{,}05 \text{ м}$ $dx = 20 \cdot 0{,}1 = 2 \text{ м}$ Разница: $\Delta x - dx = 0{,}05$ м.
4
Пункт в)
При $\Delta t = 0{,}001$ с: $\Delta x = 20 \cdot 0{,}001 + 5 \cdot (0{,}001)^2 = 0{,}02 + 0{,}000005 = 0{,}020005 \text{ м}$ $dx = 20 \cdot 0{,}001 = 0{,}02 \text{ м}$ Разница: $\Delta x - dx = 0{,}000005$ м.

Проверка

Найти дифференциал функции

y

, если: