Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1084

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1084

Уравнение движения даётся формулойx=5t2,x=5t^2,где tt выражается в секундах и xx — в метрах.

Для момента времени t=2t=2 с определить Δx\Delta x — приращение пути и dxdx — дифференциал пути и сравнить их, если:а) Δt=1 с;б) Δt=0,1 с;в) Δt=0,001 с.\text{а) }\Delta t=1\text{ с};
\qquad
\text{б) }\Delta t=0{,}1\text{ с};
\qquad
\text{в) }\Delta t=0{,}001\text{ с}.

Решение

Найдём точное приращение пути Δx\Delta x для произвольного момента времени tt и приращения Δt\Delta t:Δx=x(t+Δt)−x(t)=5(t+Δt)2−5t2=5(t2+2tΔt+(Δt)2)−5t2=10tΔt+5(Δt)2\Delta x = x(t + \Delta t) - x(t) = 5(t + \Delta t)^2 - 5t^2 = 5\left(t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2\right) - 5t^2 = 10t\Delta t + 5(\Delta t)^2Для фиксированного момента времени t=2t=2 с формула примет вид:Δx=10⋅2⋅Δt+5(Δt)2=20Δt+5(Δt)2\Delta x = 10 \cdot 2 \cdot \Delta t + 5(\Delta t)^2 = 20\Delta t + 5(\Delta t)^2
Дифференциал пути dxdx определяется по формуле dx=x′(t)dtdx = x'(t)dt, где dt=Δtdt = \Delta t:dx=(5t2)′Δt=10tΔtdx = (5t^2)'\Delta t = 10t\Delta tВ момент времени t=2t=2 с:dx=10⋅2⋅Δt=20Δtdx = 10 \cdot 2 \cdot \Delta t = 20\Delta tВычислим и сравним эти величины для различных значений Δt\Delta t:

Пункт а)

При Δt=1\Delta t = 1 с:Δx=20⋅1+5⋅12=25 м\Delta x = 20 \cdot 1 + 5 \cdot 1^2 = 25 \text{ м}dx=20⋅1=20 мdx = 20 \cdot 1 = 20 \text{ м}Разница: Δx−dx=5\Delta x - dx = 5 м.

Пункт б)

При Δt=0,1\Delta t = 0{,}1 с:Δx=20⋅0,1+5⋅(0,1)2=2+0,05=2,05 м\Delta x = 20 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot (0{,}1)^2 = 2 + 0{,}05 = 2{,}05 \text{ м}dx=20⋅0,1=2 мdx = 20 \cdot 0{,}1 = 2 \text{ м}Разница: Δx−dx=0,05\Delta x - dx = 0{,}05 м.

Пункт в)

При Δt=0,001\Delta t = 0{,}001 с:Δx=20⋅0,001+5⋅(0,001)2=0,02+0,000005=0,020005 м\Delta x = 20 \cdot 0{,}001 + 5 \cdot (0{,}001)^2 = 0{,}02 + 0{,}000005 = 0{,}020005 \text{ м}dx=20⋅0,001=0,02 мdx = 20 \cdot 0{,}001 = 0{,}02 \text{ м}Разница: Δx−dx=0,000005\Delta x - dx = 0{,}000005 м.