Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1098

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1098

Период колебания маятника определяется по формуле

T=2\pi\sqrt{\frac lg},

где

l

— длина маятника и

g=9{,}8

м/с

^2

— ускорение свободного падения.

Насколько нужно изменить длину маятника

l=0{,}2

м, чтобы период

T

увеличился на

0{,}05

с?

Решение

Для ответа на вопрос воспользуемся связью между приращением функции и её дифференциалом. При малых изменениях аргумента приращение функции приближённо равно её дифференциалу:

\Delta T \approx dT

Найдём дифференциал периода

T

по переменной

l

dT = T'_l \Delta l = \left( 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \right)'_l \Delta l

Вычислим производную:

T'_l = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot (\sqrt{l})' = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{l}} = \frac{\pi}{\sqrt{gl}}

Тогда дифференциал равен:

dT = \frac{\pi}{\sqrt{gl}} \Delta l

По условию задачи нам дано приращение периода

\Delta T = 0{,}05

с, и нужно найти

\Delta l

. Заменим

dT

на

\Delta T

и выразим

\Delta l

\Delta T \approx \frac{\pi}{\sqrt{gl}} \Delta l \implies \Delta l \approx \frac{\Delta T \sqrt{gl}}{\pi}

Подставим заданные числовые значения (

l = 0{,}2

м,

g = 9{,}8

м/с

^2

\Delta T = 0{,}05

с):

\sqrt{gl} = \sqrt{9{,}8 \cdot 0{,}2} = \sqrt{1{,}96} = 1{,}4

Вычислим искомое изменение длины маятника:

\Delta l \approx \frac{0{,}05 \cdot 1{,}4}{\pi} = \frac{0{,}07}{\pi} \text{ (м)}

Переведём результат в сантиметры:

\Delta l \approx \frac{7}{\pi} \text{ см} \approx 2{,}23 \text{ см}

Таким образом, длину маятника нужно увеличить приблизительно на

\frac{7}{\pi}

см.

Проверка

Полученные

7/\pi

см — линейное приближение. Здесь можно найти и точное изменение. Из

T=2\pi\sqrt{l/g}

следует

l=gT^2/(4\pi^2)

. Поэтому

\Delta l=\frac{g}{4\pi^2}\bigl(2T\Delta T+(\Delta T)^2\bigr) =\frac{\sqrt{gl}}\pi\Delta T+\frac{g}{4\pi^2}(\Delta T)^2.

Подставляем данные:

\Delta l=\frac{0{,}07}\pi+\frac{9{,}8\cdot0{,}05^2}{4\pi^2} =\frac{0{,}07}\pi+\frac{0{,}006125}{\pi^2}\quad\text{м}.

В сантиметрах это

7/\pi+0{,}6125/\pi^2\approx2{,}23+0{,}062\approx2{,}29

. Положительное второе слагаемое показывает, на сколько линейное приближение занижает нужное удлинение.