Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1108

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1108

Для определения ускорения свободного падения с помощью колебания маятника пользуются формулойg=4π2lT2,g=\frac{4\pi^2l}{T^2},где ll — длина маятника, TT — период его колебаний. Как отразится на значении gg относительная погрешность δ\delta при измерении:

а) длины ll;

б) периода TT?
Ответ:а) Точно δ\delta. б) Приблизительно 2δ2\delta; точная предельная относительная погрешность при 0⩽δ<10\leqslant\delta<1 равна (1−δ)−2−1(1-\delta)^{-2}-1.

Решение

Обозначим истинные величины через l,T,gl,T,g, а измеренные — добавлением знака x~\widetilde{\phantom{x}}. Дифференцирование логарифма даётdgg=dll−2dTT.\frac{dg}{g}=\frac{dl}{l}-2\frac{dT}{T}.Значит, в первом приближении ошибка длины переносится в gg с коэффициентом 11, а ошибка периода — с коэффициентом −2-2.

а) Если ошибочно измерена только длина, l~=l(1+e)\widetilde l=l(1+e), тоg~g=4π2l(1+e)/T24π2l/T2=1+e.\frac{\widetilde g}{g}=\frac{4\pi^2l(1+e)/T^2}{4\pi^2l/T^2}=1+e.Следовательно, относительная ошибка gg в точности равна ∣e∣|e|. При ∣e∣⩽δ|e|\leqslant\delta её предельная величина равна δ\delta.

б) Если ошибочно измерен только период, T~=T(1+e)\widetilde T=T(1+e), тоg~g=1(1+e)2,g~−gg=−2e−e2(1+e)2=−2e+o(e).\frac{\widetilde g}{g}=\frac1{(1+e)^2},\qquad
\frac{\widetilde g-g}{g}=\frac{-2e-e^2}{(1+e)^2}=-2e+o(e).Поэтому при малой ошибке периода относительная ошибка gg приблизительно равна 2∣e∣2|e| и имеет противоположный знак. Для ∣e∣⩽δ<1|e|\leqslant\delta<1 точная предельная абсолютная величина относительной ошибки равна1(1−δ)2−1=2δ−δ2(1−δ)2.\frac1{(1-\delta)^2}-1=\frac{2\delta-\delta^2}{(1-\delta)^2}.Она получается при заниженном периоде. При завышенном периоде ошибка равна 1−(1+δ)−21-(1+\delta)^{-2} и меньше: разность этих двух границ имеет числитель 2δ2(3−δ2)>02\delta^2(3-\delta^2)>0 и знаменатель (1−δ2)2>0(1-\delta^2)^2>0.
Демидович № 1108 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика