Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1108

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для определения ускорения свободного падения с помощью колебания маятника пользуются формулой

g=\frac{4\pi^2l}{T^2},

где

l

— длина маятника,

T

— период его колебаний. Как отразится на значении

g

относительная погрешность

\delta

при измерении:

а) длины

l

;

б) периода

T

Решение

Идея

Применим метод логарифмического дифференцирования для связи относительных погрешностей:

\ln g = \ln(4\pi^2) + \ln l - 2\ln T

Дифференцируя, получаем:

\frac{dg}{g} = \frac{dl}{l} - 2\frac{dT}{T}

Переходя к предельным относительным погрешностям (модулям), имеем:

\delta g \le \delta l + 2\delta T

1
Пункт а)
Если погрешность допускается только при измерении длины $l$ (то есть $\delta T = 0$ ), а $\delta l = \delta$ , то: $\delta g = \delta$ Относительная погрешность измерения $g$ будет равна относительной погрешности измерения $l$ .
2
Пункт б)
Если погрешность допускается только при измерении периода $T$ (то есть $\delta l = 0$ ), а $\delta T = \delta$ , то: $\delta g = 2\delta$ Относительная погрешность измерения $g$ будет в два раза больше относительной погрешности измерения $T$ .