Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1099

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближённые значения следующих выражений:

\sqrt[3]{1{,}02}.

Решение

Для приближённого вычисления значений функции воспользуемся формулой, заменяющей приращение функции её дифференциалом:

f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x

Рассмотрим функцию

f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

.
Выберем близкую к

1{,}02

точку

x_0=1

, в которой кубический корень известен точно. Тогда приращение аргумента

\Delta x = 1{,}02 - 1 = 0{,}02

Вычислим значение функции в точке

x_0

f(1) = \sqrt[3]{1} = 1

Найдём производную функции:

f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Вычислим значение производной в точке

x_0 = 1

f'(1) = \frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} = \frac{1}{3}

Подставим полученные значения в расчётную формулу:

\sqrt[3]{1{,}02} \approx 1 + \frac{1}{3} \cdot 0{,}02 = 1 + \frac{0{,}02}{3} \approx 1 + 0{,}0067 = 1{,}0067