Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1102

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближённые значения следующих выражений:

\arctan1{,}05.

Решение

Введём функцию

f(x) = \arctan x

.
Ближайшая точка с известным табличным значением:

x_0 = 1

.
Приращение:

\Delta x = 1{,}05 - 1 = 0{,}05

Значение функции:

f(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}

Производная функции:

f'(x) = \frac{1}{1+x^2}

Значение производной в точке

x_0 = 1

f'(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} = 0{,}5

Тогда приближённое значение равно:

\arctan 1{,}05 \approx \frac{\pi}{4} + 0{,}5 \cdot 0{,}05 = \frac{\pi}{4} + 0{,}025

Используя

\pi \approx 3{,}1416

, переведём в десятичную форму:

\arctan 1{,}05 \approx \frac{3{,}1416}{4} + 0{,}025 = 0{,}7854 + 0{,}025 = 0{,}8104