Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1086

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\frac1a\arctan\frac xa,\qquad a\ne0.

Решение

Найдём производную сложной функции, применяя цепное правило и табличную производную арктангенса:

y' = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{a}\right)^2} \cdot \left(\frac{x}{a}\right)' = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}} \cdot \frac{1}{a}

Умножим числитель и знаменатель центральной дроби на

a^2

y' = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a^2 + x^2}

Следовательно, дифференциал:

dy = \frac{dx}{a^2 + x^2}