Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1092

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u,v,w

— дифференцируемые функции от

x

. Найти дифференциал функции

y

, если:

y=\frac u{v^2}.

Решение

Применим правило дифференцирования частного

d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}

dy = d\left(\frac{u}{v^2}\right) = \frac{v^2\,du - u\,d(v^2)}{(v^2)^2}

Вычислим дифференциал знаменателя

d(v^2) = 2v\,dv

. Подставим это выражение обратно:

dy = \frac{v^2\,du - u(2v\,dv)}{v^4}

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель

v

(предполагая, что

v \ne 0

dy = \frac{v\,du - 2u\,dv}{v^3}