Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1094

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u,v,w

— дифференцируемые функции от

x

. Найти дифференциал функции

y

, если:

y=\arctan\frac uv.

Решение

Используем формулу дифференциала для арктангенса

d(\arctan z) = \frac{dz}{1+z^2}

, где

z = \frac{u}{v}

dy = \frac{1}{1 + \left(\frac{u}{v}\right)^2} d\left(\frac{u}{v}\right)

Упростим первую дробь:

\frac{1}{1 + \frac{u^2}{v^2}} = \frac{v^2}{u^2 + v^2}

Дифференциал частного

d\left(\frac{u}{v}\right)

равен

\frac{v\,du - u\,dv}{v^2}

. Перемножим полученные выражения:

dy = \frac{v^2}{u^2 + v^2} \cdot \frac{v\,du - u\,dv}{v^2} = \frac{v\,du - u\,dv}{u^2 + v^2}

Проверка

Равенство применяется при

v\ne0