Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1087

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти дифференциал функции

y

, если:

y=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|.

Решение

Для упрощения процесса дифференцирования воспользуемся алгебраическим свойством логарифма модуля частного:

\ln\left|\frac{u}{v}\right| = \ln|u| - \ln|v|

.
Перепишем функцию:

y = \frac{1}{2a} \left( \ln|x-a| - \ln|x+a| \right)

Найдём производную (напомним, что

(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}

y' = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{x-a} \cdot (x-a)' - \frac{1}{x+a} \cdot (x+a)' \right) = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right)

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

y' = \frac{1}{2a} \cdot \frac{(x+a) - (x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a} \cdot \frac{2a}{x^2 - a^2} = \frac{1}{x^2 - a^2}

Тогда дифференциал:

dy = \frac{dx}{x^2 - a^2}

Проверка

Формула действует при

a\ne0

x\ne\pm a

: это ограничения исходного выражения.