Демидович — задача 1104

1. 1
   Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t}$. Мы знаем, что при малых приращениях аргумента приращение функции приближённо равно её дифференциалу:$$f(t_0 + \Delta t) \approx f(t_0) + f'(t_0)\Delta t$$Пусть $t_0 = a^2$, а приращение $\Delta t = x$. Так как по условию $|x| \ll a$, то приращение можно считать достаточно малым для применения формулы дифференциала.
   Найдём значение функции и её производной в точке $t_0 = a^2$ (учитывая, что $a > 0$):$$f(a^2) = \sqrt{a^2} = a$$$$f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} \implies f'(a^2) = \frac{1}{2\sqrt{a^2}} = \frac{1}{2a}$$Подставляя эти значения в формулу, получаем требуемое приближение:$$\sqrt{a^2+x} \approx a + \frac{x}{2a}$$С помощью этой формулы выполним приближённые вычисления:
2. 2

   Пункт а)

   $\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1}$. Здесь $a = 2$, $x = 1$.$$\sqrt{5} \approx 2 + \frac{1}{2 \cdot 2} = 2 + 0{,}25 = 2{,}25$$Табличное значение: $\sqrt{5} \approx 2{,}236$. Погрешность составляет около $0{,}014$.
3. 3

   Пункт б)

   $\sqrt{34} = \sqrt{6^2 - 2}$. Здесь $a = 6$, $x = -2$.$$\sqrt{34} \approx 6 + \frac{-2}{2 \cdot 6} = 6 - \frac{1}{6} = 5\frac{5}{6} \approx 5{,}833$$Табличное значение: $\sqrt{34} \approx 5{,}831$. Погрешность составляет около $0{,}002$.
4. 4

   Пункт в)

   $\sqrt{120} = \sqrt{11^2 - 1}$. Здесь $a = 11$, $x = -1$.$$\sqrt{120} \approx 11 + \frac{-1}{2 \cdot 11} = 11 - \frac{1}{22} \approx 10{,}9545$$Табличное значение: $\sqrt{120} \approx 10{,}9545$. В данном случае первые четыре знака после запятой совпадают.
5. 5
   Докажем точную формулу с остаточным членом $r$. Из условия выразим $r$:$$r = a + \frac{x}{2a} - \sqrt{a^2+x}$$Умножим и разделим это выражение на сопряжённое, чтобы избавиться от иррациональности в числителе:$$r = \frac{\left(a + \frac{x}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{a^2+x}\right)^2}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}} = \frac{a^2 + x + \frac{x^2}{4a^2} - a^2 - x}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}} = \frac{\frac{x^2}{4a^2}}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}}$$Поскольку по условию $a > 0$ и $x > 0$, числитель строго положителен, а знаменатель состоит из суммы строго положительных слагаемых. Значит, $r > 0$. Это доказывает левую часть двойного неравенства.

Что и требовалось доказать