Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1104

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1104

1. Доказать приближённую формулу

\sqrt{a^2+x}\approx a+\frac{x}{2a}\qquad(a>0),

где

|x|\ll a^{2}

(соотношение

A\ll B

между положительными

A

B

означает, что

A

весьма мало по сравнению с

B

).

С помощью этой формулы приближённо вычислить:

\text{а) }\sqrt5;\qquad\text{б) }\sqrt{34};\qquad\text{в) }\sqrt{120}

и сравнить с табличными данными.

2. Доказать формулу

\sqrt{a^2+x}=a+\frac{x}{2a}-r\qquad(a>0,\ x>0),

где

0<r<\frac{x^2}{8a^3}.

Доказательство

Рассмотрим функцию

f(t) = \sqrt{t}

. Мы знаем, что при малых приращениях аргумента приращение функции приближённо равно её дифференциалу:

f(t_0 + \Delta t) \approx f(t_0) + f'(t_0)\Delta t

Пусть

t_0 = a^2

, а приращение

\Delta t = x

. Естественная малая величина здесь

x/a^2

, поскольку

\sqrt{a^2+x}=a\sqrt{1+x/a^2}

. При фиксированном

a>0

рассматриваем

x\to0

.
Найдём значение функции и её производной в точке

t_0 = a^2

(учитывая, что

a > 0

f(a^2) = \sqrt{a^2} = a

f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} \implies f'(a^2) = \frac{1}{2\sqrt{a^2}} = \frac{1}{2a}

Подставляя эти значения в формулу, получаем требуемое приближение:

\sqrt{a^2+x} \approx a + \frac{x}{2a}

С помощью этой формулы выполним приближённые вычисления:

Пункт а)

\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1}

. Здесь

a = 2

x = 1

\sqrt{5} \approx 2 + \frac{1}{2 \cdot 2} = 2 + 0{,}25 = 2{,}25

Табличное значение:

\sqrt{5} \approx 2{,}236

. Погрешность составляет около

0{,}014

Пункт б)

\sqrt{34} = \sqrt{6^2 - 2}

. Здесь

a = 6

x = -2

\sqrt{34} \approx 6 + \frac{-2}{2 \cdot 6} = 6 - \frac{1}{6} = 5\frac{5}{6} \approx 5{,}833

Табличное значение:

\sqrt{34} \approx 5{,}831

. Погрешность составляет около

0{,}002

Пункт в)

\sqrt{120} = \sqrt{11^2 - 1}

. Здесь

a = 11

x = -1

\sqrt{120} \approx 11 + \frac{-1}{2 \cdot 11} = 11 - \frac{1}{22} \approx 10{,}9545

Табличное значение:

\sqrt{120} \approx 10{,}9545

. При округлении до четырёх знаков после запятой оба записанных значения совпадают.

Докажем точную формулу с остаточным членом

r

. Из условия выразим

r

r = a + \frac{x}{2a} - \sqrt{a^2+x}

Умножим и разделим это выражение на сопряжённое, чтобы избавиться от иррациональности в числителе:

r = \frac{\left(a + \frac{x}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{a^2+x}\right)^2}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}} = \frac{a^2 + x + \frac{x^2}{4a^2} - a^2 - x}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}} = \frac{\frac{x^2}{4a^2}}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}}

Поскольку по условию

a > 0

x > 0

, числитель строго положителен, а знаменатель состоит из суммы строго положительных слагаемых. Значит,

r > 0

. Это доказывает левую часть двойного неравенства.

Оценим знаменатель полученной дроби снизу. Так как

x > 0

, справедливы неравенства

\frac{x}{2a} > 0

\sqrt{a^2+x} > \sqrt{a^2} = a

. Следовательно:

a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x} > a + 0 + a = 2a

Уменьшая знаменатель, мы увеличиваем значение всей дроби, поэтому:

r = \frac{\frac{x^2}{4a^2}}{a + \frac{x}{2a} + \sqrt{a^2+x}} < \frac{\frac{x^2}{4a^2}}{2a} = \frac{x^2}{8a^3}

Таким образом, мы строго доказали, что:

0 < r < \frac{x^2}{8a^3}

Проверка

Для проверки приведённых десятичных значений можно обойтись возведением в квадрат:

2{,}2360^2=4{,}999696<5<5{,}00014321=2{,}2361^2,

5{,}8309^2=33{,}99939481<34<34{,}000561=5{,}8310^2,

10{,}9544^2=119{,}99887936<120<120{,}00107025=10{,}9545^2.

Строгое возрастание квадрата на положительной полуоси переносит эти границы на соответствующие корни. Для последнего корня более точное сравнение даёт

10{,}95445<\sqrt{120}<10{,}95446

, так как квадраты концов равны

119{,}9999748025

120{,}0001938916

Что и требовалось доказать