Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1093

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u,v,w

— дифференцируемые функции от

x

. Найти дифференциал функции

y

, если:

y=\frac1{\sqrt{u^2+v^2}}.

Решение

Перепишем функцию в виде степени:

y = (u^2 + v^2)^{-\frac{1}{2}}

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (в силу инвариантности формы первого дифференциала):

dy = -\frac{1}{2}(u^2 + v^2)^{-\frac{3}{2}} \, d(u^2 + v^2)

Поскольку дифференциал суммы равен сумме дифференциалов, найдём

d(u^2 + v^2)

d(u^2 + v^2) = d(u^2) + d(v^2) = 2u\,du + 2v\,dv = 2(u\,du + v\,dv)

Подставим это выражение в формулу для

dy

dy = -\frac{1}{2(u^2 + v^2)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2(u\,du + v\,dv) = -\frac{u\,du + v\,dv}{(u^2 + v^2)^{\frac{3}{2}}}

Проверка

Равенство применяется при

u^2+v^2>0