Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1110

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1110

Доказать, что углы по логарифмической таблице тангенсов определяются точнее, чем по логарифмической таблице синусов с тем же самым числом десятичных знаков.

Доказательство

Идея

Обозначим

y = \lg \sin x

z = \lg \tan x

.
Заданное число десятичных знаков в таблицах означает, что значения логарифмов известны с одинаковой абсолютной погрешностью. Обозначим эту погрешность как

\Delta

. Тогда

\Delta y = \Delta

\Delta z = \Delta

1
Нам нужно найти, как эта погрешность $\Delta$ отражается на вычислении угла $x$ .
Для таблицы синусов (из $y = \lg \sin x$ ): $\Delta y \approx |y'_x| \Delta x_1 = \left| \frac{\cos x}{\sin x \ln 10} \right| \Delta x_1 = \frac{|\cot x|}{\ln 10} \Delta x_1$ Отсюда абсолютная погрешность определения угла по синусу: $\Delta x_1 \approx \frac{\Delta \cdot \ln 10}{|\cot x|} = \Delta \cdot \ln 10 \cdot |\tan x|$
2
Для таблицы тангенсов (из $z = \lg \tan x$ ): $\Delta z \approx |z'_x| \Delta x_2 = \left| \frac{1}{\tan x \cos^2 x \ln 10} \right| \Delta x_2 = \frac{1}{|\sin x \cos x| \ln 10} \Delta x_2$ Отсюда абсолютная погрешность определения угла по тангенсу: $\Delta x_2 \approx \Delta \cdot \ln 10 \cdot |\sin x \cos x|$

Проверка

Сравним полученные погрешности:

\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \frac{|\tan x|}{|\sin x \cos x|} = \frac{\frac{|\sin x|}{|\cos x|}}{|\sin x| |\cos x|} = \frac{1}{\cos^2 x}

Поскольку для любого угла

x \ne \pi k

выполняется неравенство

\cos^2 x \le 1

, мы получаем:

\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} \ge 1 \implies \Delta x_1 \ge \Delta x_2

Погрешность

\Delta x_2

при использовании таблицы логарифмических тангенсов меньше или равна погрешности

\Delta x_1

при использовании таблицы логарифмических синусов. Следовательно, углы по таблице тангенсов определяются точнее.

Что и требовалось доказать