Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1110

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1110

Доказать, что углы по логарифмической таблице тангенсов определяются точнее, чем по логарифмической таблице синусов с тем же самым числом десятичных знаков.

Доказательство

Рассматриваем острые углы 0<x<π/20<x<\pi/2, где синус и тангенс положительны и строго возрастают. Пусть абсолютная ошибка табличного логарифма не больше Δ\Delta.

Для u=lg⁡sin⁡xu=\lg\sin xdudx=cos⁡xsin⁡xln⁡10,∣dxdu∣=ln⁡10tan⁡x.\frac{du}{dx}=\frac{\cos x}{\sin x\ln10},\qquad
\left|\frac{dx}{du}\right|=\ln10\tan x.Поэтому линейная оценка ошибки угла равна Esin⁡=Δln⁡10tan⁡xE_{\sin}=\Delta\ln10\tan x.

Для v=lg⁡tan⁡xv=\lg\tan xdvdx=1sin⁡xcos⁡xln⁡10,∣dxdv∣=ln⁡10sin⁡xcos⁡x.\frac{dv}{dx}=\frac1{\sin x\cos x\ln10},\qquad
\left|\frac{dx}{dv}\right|=\ln10\sin x\cos x.Получаем Etan⁡=Δln⁡10sin⁡xcos⁡xE_{\tan}=\Delta\ln10\sin x\cos x. При Δ>0\Delta>0Esin⁡Etan⁡=sin⁡x/cos⁡xsin⁡xcos⁡x=1cos⁡2x>1.\frac{E_{\sin}}{E_{\tan}}=\frac{\sin x/\cos x}{\sin x\cos x}=\frac1{\cos^2x}>1.Следовательно, в первом приближении таблица тангенсов даёт меньшую ошибку угла.

Порядок ошибок можно подтвердить и без линейного приближения. Для любых 0<α<β<π/20<\alpha<\beta<\pi/2lg⁡tan⁡β−lg⁡tan⁡α=lg⁡sin⁡β−lg⁡sin⁡α+lg⁡cos⁡αcos⁡β.\lg\tan\beta-\lg\tan\alpha
=\lg\sin\beta-\lg\sin\alpha+\lg\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}.Последнее слагаемое положительно, так как cos⁡α>cos⁡β>0\cos\alpha>\cos\beta>0. Значит, один и тот же сдвиг угла изменяет логарифм тангенса сильнее, чем логарифм синуса. Поэтому при одинаковом допустимом изменении логарифма на Δ\Delta допустимый сдвиг угла для тангенса меньше — как вверх, так и вниз, пока рассматриваемые углы остаются в (0,π/2)(0,\pi/2).

Что и требовалось доказать

Демидович № 1110 — решение | Высшая математика — Профиматика