Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1101

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближённые значения следующих выражений:

Задача 1101

cos⁡151∘.\cos151^\circ.

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x. Аргумент выразим в радианах.
Выберем x0=150∘=5π6x_0 = 150^\circ = \frac{5\pi}{6} рад.
Приращение аргумента:Δx=151∘−150∘=1∘=π180 рад\Delta x = 151^\circ - 150^\circ = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ рад}
Значение функции в точке x0x_0:f(x0)=cos⁡5π6=−32f(x_0) = \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}Производная функции и её значение в точке x0x_0:f′(x)=−sin⁡x  ⟹  f′(5π6)=−sin⁡5π6=−12=−0,5f'(x) = -\sin x \implies f'\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2} = -0{,}5Вычисляем приближённое значение:cos⁡151∘≈−32−0,5⋅π180=−32−π360\cos 151^\circ \approx -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0{,}5 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{360}Переходя к десятичным дробям (3/2≈0,8660\sqrt{3}/2 \approx 0{,}8660):cos⁡151∘≈−0,8660−3,1416360≈−0,8660−0,0087=−0,8747\cos 151^\circ \approx -0{,}8660 - \frac{3{,}1416}{360} \approx -0{,}8660 - 0{,}0087 = -0{,}8747
Демидович № 1101 — решение | Высшая математика — Профиматика