Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4. Дифференциал функции

Демидович — задача 1103

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближённые значения следующих выражений:

\lg11.

Решение

Рассмотрим функцию десятичного логарифма

f(x) = \lg x = \log_{10} x

.
Выберем ближайшую удобную точку

x_0 = 10

.
Приращение аргумента:

\Delta x = 11 - 10 = 1

Значение функции:

f(10) = \lg 10 = 1

Производная функции (воспользуемся правилом перехода к другому основанию или табличной производной

(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} = \frac{\lg e}{x}

Значение производной в точке

x_0 = 10

f'(10) = \frac{\lg e}{10}

Используя известное приближение модуля перехода

M = \lg e \approx 0{,}43429

, получаем:

f'(10) \approx \frac{0{,}43429}{10} = 0{,}043429

Вычисляем искомое значение:

\lg 11 \approx 1 + 0{,}043429 \cdot 1 = 1{,}043429 \approx 1{,}043