Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1071

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1071

При каком соотношении между коэффициентами a,ba,b и cc параболаy=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cкасается оси OxOx?

Решение

Идея

Парабола касается оси абсцисс (прямой y=0y = 0) в некоторой точке x0x_0, если в этой точке значение функции равно нулю, а касательная к графику горизонтальна (то есть производная равна нулю). Таким образом, мы получаем систему уравнений:
{y(x0)=0y′(x0)=0\begin{cases}
y(x_0) = 0 \\
y'(x_0) = 0
\end{cases}Найдём производную заданной функции:y′=2ax+by' = 2ax + bПодставим функцию и её производную в систему:{ax02+bx0+c=02ax0+b=0\begin{cases}
ax_0^2 + bx_0 + c = 0 \\
2ax_0 + b = 0
\end{cases}Из второго уравнения выразим абсциссу точки касания (учитывая, что для параболы a≠0a \ne 0):x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}Подставим найденное значение x0x_0 в первое уравнение:a(−b2a)2+b(−b2a)+c=0a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = 0Выполним возведение в степень и приведём подобные слагаемые:a⋅b24a2−b22a+c=0a \cdot \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = 0b24a−2b24a+c=0\frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c = 0−b24a+c=0-\frac{b^2}{4a} + c = 0Умножим обе части равенства на 4a4a:b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0Это и есть искомое соотношение (дискриминант квадратного трёхчлена должен быть равен нулю).
Демидович № 1071 — решение