Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1076

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1076

Доказать, что семейства парабол

y^2=4a(a-x)\qquad(a>0)

y^2=4b(b+x)\qquad(b>0)

образуют ортогональную сетку.

Доказательство

Семейства кривых образуют ортогональную сетку, если в каждой точке пересечения касательные к кривым из этих семейств перпендикулярны. Это означает, что произведение их угловых коэффициентов должно равняться

-1

Найдём производные заданных функций, дифференцируя уравнения по

x

неявно:
Для первого семейства:

2yy_1' = -4a \implies y_1' = -\frac{2a}{y}

Для второго семейства:

2yy_2' = 4b \implies y_2' = \frac{2b}{y}

Произведение угловых коэффициентов в произвольной точке с ординатой

y

y_1' \cdot y_2' = \left(-\frac{2a}{y}\right) \cdot \left(\frac{2b}{y}\right) = -\frac{4ab}{y^2}

Теперь найдём ординату

y

в точках пересечения парабол. Приравняем правые части исходных уравнений:

4a(a - x) = 4b(b + x)

a^2 - ax = b^2 + bx \implies (a+b)x = a^2 - b^2 \implies x = a - b

Подставим найденную абсциссу

x

в уравнение первой параболы, чтобы найти

y^2

y^2 = 4a(a - (a - b)) = 4ab

Подставим полученное значение

y^2

в произведение угловых коэффициентов:

y_1' \cdot y_2' = -\frac{4ab}{4ab} = -1

Так как произведение производных в точках пересечения всегда равно

-1

, кривые пересекаются под прямым углом, что доказывает ортогональность семейств.

Что и требовалось доказать