Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1076

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1076

Доказать, что семейства параболy2=4a(a−x)(a>0)y^2=4a(a-x)\qquad(a>0)иy2=4b(b+x)(b>0)y^2=4b(b+x)\qquad(b>0)образуют ортогональную сетку.

Доказательство

Идея

Семейства кривых образуют ортогональную сетку, если в каждой точке пересечения касательные к кривым из этих семейств перпендикулярны. Это означает, что произведение их угловых коэффициентов должно равняться −1-1.
Найдём производные заданных функций, дифференцируя уравнения по xx неявно:
Для первого семейства:2yy1′=−4a  ⟹  y1′=−2ay2yy_1' = -4a \implies y_1' = -\frac{2a}{y}Для второго семейства:2yy2′=4b  ⟹  y2′=2by2yy_2' = 4b \implies y_2' = \frac{2b}{y}Произведение угловых коэффициентов в произвольной точке с ординатой yy:y1′⋅y2′=(−2ay)⋅(2by)=−4aby2y_1' \cdot y_2' = \left(-\frac{2a}{y}\right) \cdot \left(\frac{2b}{y}\right) = -\frac{4ab}{y^2}

Проверка

Теперь найдём ординату yy в точках пересечения парабол. Приравняем правые части исходных уравнений:4a(a−x)=4b(b+x)4a(a - x) = 4b(b + x)a2−ax=b2+bx  ⟹  (a+b)x=a2−b2  ⟹  x=a−ba^2 - ax = b^2 + bx \implies (a+b)x = a^2 - b^2 \implies x = a - bПодставим найденную абсциссу xx в уравнение первой параболы, чтобы найти y2y^2:y2=4a(a−(a−b))=4aby^2 = 4a(a - (a - b)) = 4abПодставим полученное значение y2y^2 в произведение угловых коэффициентов:y1′⋅y2′=−4ab4ab=−1y_1' \cdot y_2' = -\frac{4ab}{4ab} = -1Так как произведение производных в точках пересечения всегда равно −1-1, кривые пересекаются под прямым углом, что доказывает ортогональность семейств.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1076 — решение | Высшая математика — Профиматика