Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1069

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1069

Определить длину нормали к цепной линииy=ach⁡xay=a\operatorname{ch}\frac xaв любой её точке M(x0,y0)M(x_0,y_0).
Ответ:MN=y02/∣a∣MN=y_0^2/|a|; при a>0a>0 — MN=y02/aMN=y_0^2/a.

Решение

Пусть a≠0a\ne0. Под длиной нормали понимаем длину отрезка от точки M(x0,y0)M(x_0,y_0) до пересечения нормали с осью OxOx. Обозначим его конец через NN, а наклон касательной — через k=y′(x0)k=y'(x_0).

Если k≠0k\ne0, уравнение нормали y−y0=−(x−x0)/ky-y_0=-(x-x_0)/k при y=0y=0 даёт xN−x0=ky0x_N-x_0=ky_0. Поэтому по теореме ПифагораMN=y02+(ky0)2=∣y0∣1+k2.MN=\sqrt{y_0^2+(ky_0)^2}=|y_0|\sqrt{1+k^2}.При k=0k=0 нормаль вертикальна и её длина равна ∣y0∣|y_0|, то есть формула сохраняется.

Для цепной линииy′=a⋅1ash⁡xa=sh⁡xa,1+(y′)2=ch⁡2xa.y'=a\cdot\frac1a\operatorname{sh}\frac xa=\operatorname{sh}\frac xa,
\qquad 1+(y')^2=\operatorname{ch}^2\frac xa.Гиперболический косинус положителен. Следовательно,MN=∣y0∣ch⁡x0a=∣a∣ch⁡2x0a=y02∣a∣.MN=|y_0|\operatorname{ch}\frac{x_0}a
=|a|\operatorname{ch}^2\frac{x_0}a=\frac{y_0^2}{|a|}.При обычном выборе a>0a>0 получаем MN=y02/aMN=y_0^2/a.
Демидович № 1069 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика