Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1069

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить длину нормали к цепной линии

y=a\operatorname{ch}\frac xa

в любой её точке

M(x_0,y_0)

Решение

Длина отрезка нормали

N

вычисляется по формуле:

N = \left| y \sqrt{1 + (y')^2} \right|

Найдём производную функции

y

y' = \left( a\operatorname{ch}\frac{x}{a} \right)' = a \cdot \frac{1}{a} \operatorname{sh}\frac{x}{a} = \operatorname{sh}\frac{x}{a}

Подставим производную в выражение под корнем и воспользуемся основным гиперболическим тождеством

\operatorname{ch}^2 t - \operatorname{sh}^2 t = 1

1 + (y')^2 = 1 + \operatorname{sh}^2\frac{x}{a} = \operatorname{ch}^2\frac{x}{a}

Тогда длина нормали в точке

M(x_0, y_0)

равна:

N = \left| y_0 \sqrt{\operatorname{ch}^2\frac{x_0}{a}} \right| = y_0 \operatorname{ch}\frac{x_0}{a}

Так как

y_0 = a\operatorname{ch}\frac{x_0}{a}

, можно выразить

\operatorname{ch}\frac{x_0}{a} = \frac{y_0}{a}

. Подставим это обратно:

N = y_0 \cdot \frac{y_0}{a} = \frac{y_0^2}{a}