Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1060

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Под каким углом кривая

y=\ln x

пересекает ось

Ox

Решение

Найдём точку пересечения кривой

y = \ln x

с осью

Ox

. Для этого приравняем

y

к нулю:

\ln x = 0 \implies x = 1

Точка пересечения —

(1, 0)

.

Угол пересечения кривой с осью абсцисс определяется углом наклона её касательной в точке пересечения. Найдём производную функции:

y' = \frac{1}{x}

Вычислим значение производной в точке

x = 1

y'(1) = 1

По геометрическому смыслу производной,

y'(x_0) = \tan \alpha

, где

\alpha

— угол наклона касательной к положительному направлению оси

Ox

\tan \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \text{ (или } 45^\circ\text{)}

Следовательно, кривая пересекает ось

Ox

под углом

\frac{\pi}{4}