Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1066

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1066

Определив длину подкасательной к кривойy=axny=ax^nдать способ построения касательной к этой кривой.
Ответ:τ=x0n,xT=x0−τ,PT=∣x0n∣\tau=\frac{x_0}{n},
\qquad
x_T=x_0-\tau,
\qquad
PT=\left|\frac{x_0}{n}\right|Касательную к кривой в точке MM строят как прямую MTMT;
положение точки TT задаётся равенством xT=x0−τx_T=x_0-\tau.

Решение

Идея

Пусть M(x0,y0)M(x_0,y_0) — точка кривой, P(x0,0)P(x_0,0) — её проекция
на ось OxOx, а TT — точка пересечения касательной в MM с
осью OxOx. Будем считать, что an≠0an\ne0 и производная в точке
x0x_0 существует и отлична от нуля.
  1. 1
    Имеемy′(x0)=anx0n−1y'(x_0)=anx_0^{n-1}Уравнение касательной в точке MM имеет видy−y0=y′(x0)(x−x0)y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)Подставляя y=0y=0, находимxT=x0−y0y′(x0)x_T=x_0-\frac{y_0}{y'(x_0)}Обозначимτ=xP−xT=y0y′(x0)=x0n\tau=x_P-x_T=\frac{y_0}{y'(x_0)}=\frac{x_0}{n}ТогдаxT=x0−τ,PT=∣τ∣=∣x0n∣x_T=x_0-\tau,
    \qquad
    PT=|\tau|=\left|\frac{x_0}{n}\right|    Если τ>0\tau>0, точка TT лежит слева от PP; если
    τ<0\tau<0, то справа.
  2. 2
    Для построения касательной нужно опустить из MM перпендикуляр
    MPMP на ось OxOx, вычислить τ=x0/n\tau=x_0/n, отметить на оси
    точку TT с абсциссой xT=x0−τx_T=x_0-\tau и провести прямую MTMT.
    При x0>0x_0>0 и n>1n>1 точка TT лежит между OO и PP,
    причёмOT:TP=(n−1):1OT:TP=(n-1):1Для n=1n=1 получаем T=OT=O, а при 0<n<10<n<1 точка TT лежит
    левее OO. Если n=1n=1 и x0=0x_0=0, тоM=P=T=OM=P=T=Oпоэтому построение прямой по точкам MM и TT вырождается. В этом
    случае кривая y=axy=ax сама является касательной.

    При a=0a=0 график на области определения выражения xnx^n лежит
    на оси OxOx. При n=0n=0 и a≠0a\ne0 кривая является
    горизонтальной прямой y=ay=a. В этих случаях построение по конечной
    подкасательной неприменимо.график к задаче Демидовича № 1066

    На рисунке показан пример y=x2/2y=x^2/2, для которого n=2n=2. В
    точке M(2,2)M(2,2) имеем P(2,0)P(2,0), PT=1PT=1 и T(1,0)T(1,0).

Проверка

Ответ.τ=x0n,xT=x0−τ,PT=∣x0n∣\tau=\frac{x_0}{n},
\qquad
x_T=x_0-\tau,
\qquad
PT=\left|\frac{x_0}{n}\right|Касательную к кривой в точке MM строят как прямую MTMT;
положение точки TT задаётся равенством xT=x0−τx_T=x_0-\tau.
Демидович № 1066 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика