Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1077

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

x=2t-t^2,\qquady=3t-t^3

в точках:

\text{а) }t=0;\qquad\text{б) }t=1.

Решение

Найдём производную

y'_x

для кривой, заданной параметрически:

y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{(3t-t^3)'_t}{(2t-t^2)'_t} = \frac{3-3t^2}{2-2t} = \frac{3(1-t)(1+t)}{2(1-t)}

При

t \ne 1

выражение упрощается:

y'_x = \frac{3}{2}(1+t)

В точке

t=0

:
Координаты точки касания:

x(0) = 0

y(0) = 0

.
Угловой коэффициент касательной:

k = y'_x(0) = \frac{3}{2}

.
Уравнение касательной:

y - 0 = \frac{3}{2}(x - 0) \implies 3x - 2y = 0

Уравнение нормали (

k_{norm} = -1/k = -2/3

y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 0) \implies 2x + 3y = 0

В точке

t=1

:
Координаты точки касания:

x(1) = 2(1) - 1^2 = 1

y(1) = 3(1) - 1^3 = 2

.
В этой точке

x'_t = 0

y'_t = 0

. Рассмотрим секущую при

t=1+h

. Раскрывая степени, получаем

x=2(1+h)-(1+2h+h^2)=1-h^2,

y=3+3h-(1+3h+3h^2+h^3)=2-3h^2-h^3.

Поэтому

k=\lim_{h\to0}\frac{-3h^2-h^3}{-h^2}=\lim_{h\to0}(3+h)=3.

Уравнение касательной:

y - 2 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 1 \implies 3x - y - 1 = 0

Уравнение нормали:

y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies 3y - 6 = -x + 1 \implies x + 3y - 7 = 0