Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1077

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

x=2t-t^2,\qquady=3t-t^3

в точках:

\text{а) }t=0;\qquad\text{б) }t=1.

Решение

Идея

Найдём производную

y'_x

для кривой, заданной параметрически:

y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{(3t-t^3)'_t}{(2t-t^2)'_t} = \frac{3-3t^2}{2-2t} = \frac{3(1-t)(1+t)}{2(1-t)}

При

t \ne 1

выражение упрощается:

y'_x = \frac{3}{2}(1+t)

1
Пункт а)
В точке $t=0$ :
Координаты точки касания: $x(0) = 0$ , $y(0) = 0$ .
Угловой коэффициент касательной: $k = y'_x(0) = \frac{3}{2}$ .
Уравнение касательной: $y - 0 = \frac{3}{2}(x - 0) \implies 3x - 2y = 0$ Уравнение нормали ( $k_{norm} = -1/k = -2/3$ ): $y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 0) \implies 2x + 3y = 0$
2
Пункт б)
В точке $t=1$ :
Координаты точки касания: $x(1) = 2(1) - 1^2 = 1$ , $y(1) = 3(1) - 1^3 = 2$ .
В этой точке $x'_t = 0$ и $y'_t = 0$ . Значение производной ищем как предел при $t \to 1$ : $k = \lim_{t \to 1} \frac{3(1+t)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ Уравнение касательной: $y - 2 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 1 \implies 3x - y - 1 = 0$ Уравнение нормали: $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies 3y - 6 = -x + 1 \implies x + 3y - 7 = 0$