Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1061

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Под какими углами пересекаются кривые

y=x^2\qquad\text{и}\qquadx=y^2?

Решение

Идея

Найдём точки пересечения заданных кривых, решив систему уравнений:

\begin{cases}y = x^2 \\x = y^2\end{cases}

Подставив первое уравнение во второе, получим

x = x^4

, откуда

x(x^3 - 1) = 0

. Вещественные корни:

x_1 = 0

x_2 = 1

. Соответствующие точки пересечения:

O(0, 0)

M(1, 1)

Угол между кривыми равен углу между их касательными в точках пересечения.
Продифференцируем уравнения кривых:
Для

y = x^2

имеем

y_1' = 2x

.
Для

x = y^2

(считая

y \ge 0

в первой четверти,

y = \sqrt{x}

) имеем

y_2' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

.

В точке

O(0, 0)

:
Касательная к первой параболе — это ось

Ox

(поскольку

y_1'(0) = 0

, то есть

y = 0

).
Касательная ко второй параболе — это ось

Oy

(поскольку

y_2'(x) \to \infty

при

x \to 0

, то есть

x = 0

).
Угол между осями координат равен

\frac{\pi}{2}

(или

90^\circ

).

В точке

M(1, 1)

:
Угловые коэффициенты касательных равны:

k_1 = y_1'(1) = 2

k_2 = y_2'(1) = \frac{1}{2}

.
Угол

\theta

между кривыми вычисляется по формуле:

\tan \theta = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2}\right| = \left|\frac{2 - 1/2}{1 + 2 \cdot (1/2)}\right| = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}

Отсюда искомый угол

\theta = \arctan \frac{3}{4}