Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1075

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1075

Показать, что семейства гиперболx2−y2=a,xy=bx^2-y^2=a,
\qquad
xy=bобразуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.

Доказательство

Кривые пересекаются под прямым углом, если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых через их угловые коэффициенты имеет вид k1⋅k2=−1k_1 \cdot k_2 = -1.
Найдём угловые коэффициенты касательных для обоих семейств гипербол, продифференцировав их уравнения по xx, считая yy неявной функцией от xx.
Для первого семейства x2−y2=ax^2 - y^2 = a:(x2−y2)′=(a)′(x^2 - y^2)' = (a)'2x−2y⋅y1′=0  ⟹  y1′=xy2x - 2y \cdot y_1' = 0 \implies y_1' = \frac{x}{y}
Для второго семейства xy=bxy = b:(xy)′=(b)′(xy)' = (b)'Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения, получим:1⋅y+x⋅y2′=0  ⟹  y2′=−yx1 \cdot y + x \cdot y_2' = 0 \implies y_2' = -\frac{y}{x}Пусть (x0,y0)(x_0, y_0) — точка пересечения некоторых двух кривых из заданных семейств. Угловые коэффициенты касательных в этой точке:k1=y1′(x0)=x0y0k_1 = y_1'(x_0) = \frac{x_0}{y_0}k2=y2′(x0)=−y0x0k_2 = y_2'(x_0) = -\frac{y_0}{x_0}Найдём произведение этих угловых коэффициентов:k1⋅k2=x0y0⋅(−y0x0)=−1k_1 \cdot k_2 = \frac{x_0}{y_0} \cdot \left(-\frac{y_0}{x_0}\right) = -1Так как произведение угловых коэффициентов касательных в любой точке пересечения равно −1-1, кривые пересекаются под прямым углом. Следовательно, заданные семейства гипербол образуют ортогональную сетку.

Проверка

Деление выше выполнено при x0y0≠0x_0y_0\ne0. Если y0=0y_0=0, x0≠0x_0\ne0, первая кривая имеет вертикальную касательную, а ветвь xy=0xy=0 в этой точке совпадает с осью OxOx. Если x0=0x_0=0, y0≠0y_0\ne0, первая касательная горизонтальна, а вторая кривая локально совпадает с осью OyOy. В обоих случаях касательные перпендикулярны. Точка (0,0)(0,0) является особой для вырожденных уровней a=b=0a=b=0: единственных касательных там нет, и утверждение об ортогональной сетке относится к регулярным точкам.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1075 — решение | Высшая математика — Профиматика