Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1056

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

В каких точках кривой

y=2+x-x^2

касательная к ней:

а) параллельна оси

Ox

;

б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?

Решение

Идея

Найдём производную функции, которая задаёт угловой коэффициент касательной:

y' = (2+x-x^2)' = 1 - 2x

1
Пункт а)
Касательная параллельна оси $Ox$ , если её угловой коэффициент равен нулю: $y' = 0 \implies 1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ Найдём ординату точки касания: $y\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ Искомая точка: $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ .
2
Пункт б)
Биссектриса первого координатного угла задаётся уравнением $y = x$ , её угловой коэффициент равен $1$ . Касательная параллельна этой биссектрисе, если $y' = 1$ : $1 - 2x = 1 \implies x = 0$ Найдём ординату точки: $y(0) = 2 + 0 - 0^2 = 2$ Искомая точка: $(0, 2)$ .