Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1058

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1058

На кривойy=2sin⁡x(−π≤x≤π)y=2\sin x
\qquad(-\pi\le x\le\pi)определить те участки её, где «крутизна кривой» (т. е. ∣y′∣|y'|) превышает 11.

Решение

Идея

Найдём производную функции:y′=(2sin⁡x)′=2cos⁡xy' = (2\sin x)' = 2\cos xПо условию требуется найти участки, где ∣y′∣>1|y'| > 1, что даёт неравенство:∣2cos⁡x∣>1  ⟹  ∣cos⁡x∣>12|2\cos x| > 1 \implies |\cos x| > \frac{1}{2}Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:[cos⁡x>12cos⁡x<−12\left[
\begin{array}{l}
\cos x > \frac{1}{2} \\
\cos x < -\frac{1}{2}
\end{array}
\right.
Решим эту совокупность на отрезке [−π,π][-\pi, \pi]:

Неравенство cos⁡x>12\cos x > \frac{1}{2} выполняется при x∈(−π3,π3)x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right).

Неравенство cos⁡x<−12\cos x < -\frac{1}{2} выполняется при x∈[−π,−2π3)∪(2π3,π]x \in \left[-\pi, -\frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right].

Проверка

Объединяя полученные интервалы, находим искомые участки кривой:x∈[−π,−2π3)∪(−π3,π3)∪(2π3,π]x \in \left[-\pi, -\frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right]
Демидович № 1058 — решение