Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1058

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

На кривой

y=2\sin x\qquad(-\pi\le x\le\pi)

определить те участки её, где «крутизна кривой» (т. е.

|y'|

) превышает

1

Решение

Найдём производную функции:

y' = (2\sin x)' = 2\cos x

По условию требуется найти участки, где

|y'| > 1

, что даёт неравенство:

|2\cos x| > 1 \implies |\cos x| > \frac{1}{2}

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

\left[\begin{array}{l}\cos x > \frac{1}{2} \\\cos x < -\frac{1}{2}\end{array}\right.

Решим эту совокупность на отрезке

[-\pi, \pi]

:

Неравенство

\cos x > \frac{1}{2}

выполняется при

x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)

.

Неравенство

\cos x < -\frac{1}{2}

выполняется при

x \in \left[-\pi, -\frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right]

.

Объединяя полученные интервалы, находим искомые участки кривой:

x \in \left[-\pi, -\frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right]