Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1079

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1079

Написать уравнение касательной к циклоидеx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),
\qquad
y=a(1-\cos t)в произвольной точке t=t0t=t_0. Дать способ построения касательной к
циклоиде.
Ответ:В регулярной точке t=t0t=t_0y−2a=(x−at0)cot⁡t02,t0≠2πky-2a=\left(x-at_0\right)\cot\frac{t_0}{2},
\qquad t_0\ne2\pi kВ точке возврата t0=2πkt_0=2\pi k касательная имеет уравнениеx=2πkax=2\pi kaЕсли t0≠2πkt_0\ne2\pi k, для построения соединяют M0M_0 с точкой
CC, в которой катящаяся окружность касается оси OxOx, а затем
в M0M_0 проводят перпендикуляр к CM0CM_0. При t0=2πkt_0=2\pi k
сразу проводят вертикальную касательную x=2πkax=2\pi ka.

Решение

Идея

Считаем a>0a>0. Сначала рассмотрим регулярную точку, для которой
t0≠2πkt_0\ne2\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z. Производные параметрического
задания равныx′(t)=a(1−cos⁡t),y′(t)=asin⁡tx'(t)=a(1-\cos t),
\qquad
y'(t)=a\sin tПоэтомуdydx=sin⁡t1−cos⁡t=2sin⁡(t/2)cos⁡(t/2)2sin⁡2(t/2)=cot⁡t2\begin{aligned}
\frac{dy}{dx}
&=\frac{\sin t}{1-\cos t}
=\frac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\sin^2(t/2)}
=\cot\frac{t}{2}
\end{aligned}ОбозначимM0(a(t0−sin⁡t0),a(1−cos⁡t0))M_0\bigl(a(t_0-\sin t_0),a(1-\cos t_0)\bigr)Тогда уравнение касательной имеет видy−a(1−cos⁡t0)=cot⁡t02(x−a(t0−sin⁡t0))y-a(1-\cos t_0)
=\cot\frac{t_0}{2}
\bigl(x-a(t_0-\sin t_0)\bigr)Посколькуsin⁡t0cot⁡t02=1+cos⁡t0\sin t_0\cot\frac{t_0}{2}=1+\cos t_0это уравнение можно записать короче:y−2a=(x−at0)cot⁡t02y-2a=\left(x-at_0\right)\cot\frac{t_0}{2}
  1. 1
    При t0=2πkt_0=2\pi k обе первые производные обращаются в нуль, поэтому
    формулу для dy/dxdy/dx применять нельзя. Положим
    t=2πk+τt=2\pi k+\tau. При τ→0\tau\to0x−2πka=a(τ−sin⁡τ)==aτ36+o(τ3)\begin{aligned}
    x-2\pi ka
    &=a(\tau-\sin\tau)=\\
    &=\frac{a\tau^3}{6}+o(\tau^3)
    \end{aligned}    иy=a(1−cos⁡τ)==aτ22+o(τ2)\begin{aligned}
    y
    &=a(1-\cos\tau)=\\
    &=\frac{a\tau^2}{2}+o(\tau^2)
    \end{aligned}    Кроме того,x−2πkay=aτ36+o(τ3)aτ22+o(τ2)=τ3+o(τ)⟶0\begin{aligned}
    \frac{x-2\pi ka}{y}
    &=\frac{\dfrac{a\tau^3}{6}+o(\tau^3)}
    {\dfrac{a\tau^2}{2}+o(\tau^2)}
    =\frac{\tau}{3}+o(\tau)\longrightarrow0
    \end{aligned}    Отсюда горизонтальное отклонение секущей пренебрежимо мало по
    сравнению с вертикальным, поэтому касательная в точке возврата
    вертикальна и имеет уравнениеx=2πkax=2\pi ka
  2. 2
    Если t0=2πkt_0=2\pi k, тоM0=C=(2πka,0)M_0=C=(2\pi ka,0)Отрезок CM0CM_0 вырождается. Перпендикуляр к нему построить нельзя,
    поэтому в точке возврата сразу проводят найденную вертикальную
    касательную x=2πkax=2\pi ka.
  3. 3
    Теперь выполним геометрическое построение в регулярной точке, то есть
    при t0≠2πkt_0\ne2\pi k. Порождающая окружность радиуса aa в момент
    t=t0t=t_0 касается оси OxOx в точке C(at0,0)C(at_0,0). Направление от
    CC к M0M_0 задаётся векторомCM0→=a(−sin⁡t0,1−cos⁡t0)\overrightarrow{CM_0}
    =a\bigl(-\sin t_0,1-\cos t_0\bigr)    Этот вектор перпендикулярен направляющему вектору касательной(x′(t0),y′(t0))=a(1−cos⁡t0,sin⁡t0)\bigl(x'(t_0),y'(t_0)\bigr)
    =a\bigl(1-\cos t_0,\sin t_0\bigr)    поскольку их скалярное произведение равно нулю. Значит, нужно
    соединить M0M_0 с мгновенной точкой касания CC катящейся
    окружности с осью OxOx, а затем в точке M0M_0 провести прямую,
    перпендикулярную CM0CM_0.
  4. 4

    Построение графика

    На рисунке изображена одна арка циклоиды.

    Она соответствует 0⩽t⩽2π0\leqslant t\leqslant2\pi. Остальные арки
    получаются её сдвигом вдоль оси OxOx на 2πk2\pi k,
    k∈Zk\in\mathbb Z. Построение касательной показано при a=1a=1,
    t0=π/2t_0=\pi/2. Центр катящейся окружности равен
    S(π/2,1)S(\pi/2,1), точка её касания с осью — C(π/2,0)C(\pi/2,0), а
    M0(π/2−1,1)M_0(\pi/2-1,1). Розовая прямая перпендикулярна отрезку
    CM0CM_0.график к задаче Демидовича № 1079

Проверка

Ответ. В регулярной точке t=t0t=t_0y−2a=(x−at0)cot⁡t02,t0≠2πky-2a=\left(x-at_0\right)\cot\frac{t_0}{2},
\qquad t_0\ne2\pi kВ точке возврата t0=2πkt_0=2\pi k касательная имеет уравнениеx=2πkax=2\pi kaЕсли t0≠2πkt_0\ne2\pi k, для построения соединяют M0M_0 с точкой
CC, в которой катящаяся окружность касается оси OxOx, а затем
в M0M_0 проводят перпендикуляр к CM0CM_0. При t0=2πkt_0=2\pi k
сразу проводят вертикальную касательную x=2πkax=2\pi ka.
Демидович № 1079 — решение и ответ