Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1072

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1072

При каком условии кубическая параболаy=x3+px+qy=x^3+px+qкасается оси OxOx?

Решение

Идея

Аналогично предыдущей задаче, кривая касается оси OxOx в точке x0x_0, если выполняются два условия одновременно: y(x0)=0y(x_0) = 0 и y′(x0)=0y'(x_0) = 0.
Найдём производную функции:y′=3x2+py' = 3x^2 + pСоставим систему уравнений для точки касания x0x_0:{x03+px0+q=03x02+p=0\begin{cases}
x_0^3 + px_0 + q = 0 \\
3x_0^2 + p = 0
\end{cases}Из второго уравнения выразим x02x_0^2:x02=−p3x_0^2 = -\frac{p}{3}Преобразуем первое уравнение системы, выделив множитель x02x_0^2:x0(x02+p)+q=0x_0(x_0^2 + p) + q = 0Подставим x02=−p3x_0^2 = -\frac{p}{3} в это уравнение:x0(−p3+p)+q=0x_0\left(-\frac{p}{3} + p\right) + q = 02p3x0=−q\frac{2p}{3}x_0 = -qВозведём обе части полученного равенства в квадрат:4p29x02=q2\frac{4p^2}{9}x_0^2 = q^2Снова воспользуемся тем, что x02=−p3x_0^2 = -\frac{p}{3}:4p29⋅(−p3)=q2\frac{4p^2}{9} \cdot \left(-\frac{p}{3}\right) = q^2−4p327=q2-\frac{4p^3}{27} = q^2Умножим на 2727 и перенесём всё в одну сторону:4p3+27q2=04p^3 + 27q^2 = 0Также это условие часто записывают в виде:(p3)3+(q2)2=0\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 = 0
Демидович № 1072 — решение