Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1072

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

При каком условии кубическая парабола

y=x^3+px+q

касается оси

Ox

Решение

Аналогично предыдущей задаче, кривая касается оси

Ox

в точке

x_0

, если выполняются два условия одновременно:

y(x_0) = 0

y'(x_0) = 0

Найдём производную функции:

y' = 3x^2 + p

Составим систему уравнений для точки касания

x_0

\begin{cases}x_0^3 + px_0 + q = 0 \\3x_0^2 + p = 0\end{cases}

Из второго уравнения выразим

x_0^2

x_0^2 = -\frac{p}{3}

Преобразуем первое уравнение системы, выделив множитель

x_0^2

x_0(x_0^2 + p) + q = 0

Подставим

x_0^2 = -\frac{p}{3}

в это уравнение:

x_0\left(-\frac{p}{3} + p\right) + q = 0

\frac{2p}{3}x_0 = -q

Возведём обе части полученного равенства в квадрат:

\frac{4p^2}{9}x_0^2 = q^2

Снова воспользуемся тем, что

x_0^2 = -\frac{p}{3}

\frac{4p^2}{9} \cdot \left(-\frac{p}{3}\right) = q^2

-\frac{4p^3}{27} = q^2

Умножим на

27

и перенесём всё в одну сторону:

4p^3 + 27q^2 = 0

Также это условие часто записывают в виде:

\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 = 0

Проверка

Проверим достаточность. Если

p=0

, равенство

4p^3+27q^2=0

даёт

q=0

, и у

y=x^3

касательная в нуле есть ось

Ox

. Если

p\ne0

, то из равенства следует

p<0

. Положим

x_0=-3q/(2p)

. Тогда

x_0^2=\frac{9q^2}{4p^2}=\frac{9(-4p^3/27)}{4p^2}=-\frac p3,

3x_0^2+p=0,\qquad x_0^3+px_0+q=\frac{2p}{3}x_0+q=-q+q=0.

Оба условия касания выполнены. При

p=q=0

кривая пересекает ось, имея её своей касательной; если под касанием дополнительно понимать отсутствие пересечения, этот случай следует исключить.