Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1074

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что кривые

y=f(x)\qquad(f(x)>0),\qquady=f(x)\sin ax,

где

f(x)

— дифференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках.

Доказательство

Обозначим заданные функции как

y_1 = f(x)

y_2 = f(x)\sin ax

.
Сначала найдём общие точки этих кривых, приравняв их значения:

f(x) = f(x)\sin ax

Поскольку по условию

f(x) > 0

, мы можем разделить обе части на

f(x)

1 = \sin ax

Пусть

x_k

— абсциссы общих точек. В этих точках выполняется равенство

\sin ax_k = 1

. Следовательно,

\cos ax_k = 0

.

Теперь докажем, что касательные к кривым в этих общих точках совпадают, то есть

y_1'(x_k) = y_2'(x_k)

.
Найдём производные обеих функций. Для первой функции:

y_1' = f'(x)

Для второй функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

y_2' = (f(x)\sin ax)' = f'(x)\sin ax + f(x) \cdot (a\cos ax)

Вычислим значение производной

y_2'

в общих точках

x_k

. Подставим

\sin ax_k = 1

\cos ax_k = 0

y_2'(x_k) = f'(x_k) \cdot 1 + a f(x_k) \cdot 0 = f'(x_k)

Следовательно, в каждой точке пересечения

x_k

выполняется равенство:

y_1'(x_k) = y_2'(x_k)

Так как значения функций и их производных в общих точках совпадают, кривые в этих точках касаются друг друга, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать