Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1074

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1074

Доказать, что кривыеy=f(x)(f(x)>0),y=f(x)sin⁡ax,y=f(x)\qquad(f(x)>0),
\qquad
y=f(x)\sin ax,где f(x)f(x) — дифференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках.

Доказательство

Обозначим заданные функции как y1=f(x)y_1 = f(x) и y2=f(x)sin⁡axy_2 = f(x)\sin ax.
Сначала найдём общие точки этих кривых, приравняв их значения:f(x)=f(x)sin⁡axf(x) = f(x)\sin axПоскольку по условию f(x)>0f(x) > 0, мы можем разделить обе части на f(x)f(x):1=sin⁡ax1 = \sin axПусть xkx_k — абсциссы общих точек. В этих точках выполняется равенство sin⁡axk=1\sin ax_k = 1. Следовательно, cos⁡axk=0\cos ax_k = 0.

Теперь докажем, что касательные к кривым в этих общих точках совпадают, то есть y1′(xk)=y2′(xk)y_1'(x_k) = y_2'(x_k).
Найдём производные обеих функций. Для первой функции:y1′=f′(x)y_1' = f'(x)Для второй функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения:y2′=(f(x)sin⁡ax)′=f′(x)sin⁡ax+f(x)⋅(acos⁡ax)y_2' = (f(x)\sin ax)' = f'(x)\sin ax + f(x) \cdot (a\cos ax)Вычислим значение производной y2′y_2' в общих точках xkx_k. Подставим sin⁡axk=1\sin ax_k = 1 и cos⁡axk=0\cos ax_k = 0:y2′(xk)=f′(xk)⋅1+af(xk)⋅0=f′(xk)y_2'(x_k) = f'(x_k) \cdot 1 + a f(x_k) \cdot 0 = f'(x_k)Следовательно, в каждой точке пересечения xkx_k выполняется равенство:y1′(xk)=y2′(xk)y_1'(x_k) = y_2'(x_k)Так как значения функций и их производных в общих точках совпадают, кривые в этих точках касаются друг друга, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1074 — решение