Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1073

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

При каком значении параметра

a

парабола

y=ax^2

касается кривой

y=\ln x

Решение

Идея

Пусть заданные кривые касаются в точке с абсциссой

x_0

. Обозначим

y_1 = ax^2

y_2 = \ln x

.
Две кривые касаются друг друга в точке

x_0

, если в этой точке равны их значения и значения их производных:

\begin{cases}y_1(x_0) = y_2(x_0) \\y_1'(x_0) = y_2'(x_0)\end{cases}

Найдём производные заданных функций:

y_1' = 2ax, \qquad y_2' = \frac{1}{x}

Составим систему уравнений:

\begin{cases}ax_0^2 = \ln x_0 \\2ax_0 = \frac{1}{x_0}\end{cases}

Из второго уравнения выразим параметр

a

a = \frac{1}{2x_0^2}

Подставим найденное выражение для

a

в первое уравнение системы:

\left(\frac{1}{2x_0^2}\right) \cdot x_0^2 = \ln x_0

\frac{1}{2} = \ln x_0 \implies x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}

Теперь найдём искомое значение параметра

a

, подставив

x_0

в выражение для

a

a = \frac{1}{2(\sqrt{e})^2} = \frac{1}{2e}