Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1078

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

x=\frac{2t+t^2}{1+t^3},\qquady=\frac{2t-t^2}{1+t^3}

в точках:

\text{а) }t=0;\qquad\text{б) }t=1;\qquad\text{в) }t=\infty.

Решение

Найдём производные по параметру

t

x'_t = \frac{(2+2t)(1+t^3) - (2t+t^2)3t^2}{(1+t^3)^2} = \frac{2 + 2t - 4t^3 - t^4}{(1+t^3)^2}

y'_t = \frac{(2-2t)(1+t^3) - (2t-t^2)3t^2}{(1+t^3)^2} = \frac{2 - 2t - 4t^3 + t^4}{(1+t^3)^2}

Производная

y'_x

равна:

y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2 - 2t - 4t^3 + t^4}{2 + 2t - 4t^3 - t^4}

В точке

t=0

:
Координаты точки:

x(0) = 0

y(0) = 0

.
Угловой коэффициент:

k = y'_x(0) = \frac{2}{2} = 1

.
Уравнение касательной:

y = x \implies x - y = 0

.
Уравнение нормали:

y = -x \implies x + y = 0

В точке

t=1

:
Координаты точки:

x(1) = \frac{3}{2}

y(1) = \frac{1}{2}

.
Угловой коэффициент:

k = y'_x(1) = \frac{2 - 2 - 4 + 1}{2 + 2 - 4 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3

Уравнение касательной:

y - \frac{1}{2} = 3\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies y = 3x - 4 \implies 3x - y - 4 = 0

Уравнение нормали:

y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies 6y - 3 = -2x + 3 \implies x + 3y - 3 = 0

При

t \to \infty

:
Найдём предельные координаты точки:

\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{2t+t^2}{1+t^3} = 0, \qquad \lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{2t-t^2}{1+t^3} = 0

Точка касания:

(0, 0)

.
Наклон секущей из

(0,0)

равен

\frac{y(t)}{x(t)}=\frac{2t-t^2}{2t+t^2}=\frac{2/t-1}{2/t+1}\longrightarrow-1.

Следовательно, у приходящей из бесконечных значений параметра ветви

k=-1

.
Уравнение касательной:

y = -x \implies x + y = 0

.
Уравнение нормали:

y = x \implies x - y = 0