Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1078

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

x=\frac{2t+t^2}{1+t^3},\qquady=\frac{2t-t^2}{1+t^3}

в точках:

\text{а) }t=0;\qquad\text{б) }t=1;\qquad\text{в) }t=\infty.

Решение

Идея

Найдём производные по параметру

t

x'_t = \frac{(2+2t)(1+t^3) - (2t+t^2)3t^2}{(1+t^3)^2} = \frac{2 + 2t - 4t^3 - t^4}{(1+t^3)^2}

y'_t = \frac{(2-2t)(1+t^3) - (2t-t^2)3t^2}{(1+t^3)^2} = \frac{2 - 2t - 4t^3 + t^4}{(1+t^3)^2}

Производная

y'_x

равна:

y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2 - 2t - 4t^3 + t^4}{2 + 2t - 4t^3 - t^4}

1
Пункт а)
В точке $t=0$ :
Координаты точки: $x(0) = 0$ , $y(0) = 0$ .
Угловой коэффициент: $k = y'_x(0) = \frac{2}{2} = 1$ .
Уравнение касательной: $y = x \implies x - y = 0$ .
Уравнение нормали: $y = -x \implies x + y = 0$ .
2
Пункт б)
В точке $t=1$ :
Координаты точки: $x(1) = \frac{3}{2}$ , $y(1) = \frac{1}{2}$ .
Угловой коэффициент: $k = y'_x(1) = \frac{2 - 2 - 4 + 1}{2 + 2 - 4 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3$ Уравнение касательной: $y - \frac{1}{2} = 3\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies y = 3x - 4 \implies 3x - y - 4 = 0$ Уравнение нормали: $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies 6y - 3 = -2x + 3 \implies x + 3y - 3 = 0$
3
Пункт в)
При $t \to \infty$ :
Найдём предельные координаты точки: $\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{2t+t^2}{1+t^3} = 0, \qquad \lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{2t-t^2}{1+t^3} = 0$ Точка касания: $(0, 0)$ .
Найдём предельный угловой коэффициент: $k = \lim_{t \to \infty} \frac{2 - 2t - 4t^3 + t^4}{2 + 2t - 4t^3 - t^4} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^4}{-t^4} = -1$ Уравнение касательной: $y = -x \implies x + y = 0$ .
Уравнение нормали: $y = x \implies x - y = 0$ .