Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1081

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1,\qquad M(6;6{,}4).

Решение

Идея

Продифференцируем уравнение эллипса по

x

, считая

y

неявной функцией:

\frac{2x}{100} + \frac{2yy'}{64} = 0 \implies \frac{x}{50} + \frac{yy'}{32} = 0 \implies y' = -\frac{16x}{25y}

Найдём угловой коэффициент касательной в точке

M(6; 6{,}4)

. Заметим, что

6{,}4 = \frac{32}{5}

k = y'(6) = -\frac{16 \cdot 6}{25 \cdot \frac{32}{5}} = -\frac{96}{160} = -0{,}6 = -\frac{3}{5}

Уравнение касательной:

y - 6{,}4 = -0{,}6(x - 6) \implies 5y - 32 = -3x + 18 \implies 3x + 5y - 50 = 0

Уравнение нормали:
Угловой коэффициент нормали

k_{norm} = -\frac{1}{k} = \frac{5}{3}

y - \frac{32}{5} = \frac{5}{3}(x - 6) \implies 15y - 96 = 25(x - 6) \implies 25x - 15y - 54 = 0