Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1062

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Под какими углами пересекаются кривые

Задача 1062

y=sin⁡xиy=cos⁡x?y=\sin x
\qquad\text{и}\qquad
y=\cos x?

Решение

Найдём абсциссы точек пересечения кривых:sin⁡x=cos⁡x  ⟹  tan⁡x=1  ⟹  x=π4+πk,k∈Z\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}В этих точках значения функций равны ±22\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, а их произведение sin⁡xcos⁡x=12\sin x \cos x = \frac{1}{2}.

Угловые коэффициенты касательных:k1=y1′=cos⁡x,k2=y2′=−sin⁡xk_1 = y_1' = \cos x, \qquad k_2 = y_2' = -\sin xТангенс угла θ\theta между кривыми:tan⁡θ=∣k1−k21+k1k2∣=∣cos⁡x−(−sin⁡x)1+cos⁡x(−sin⁡x)∣=∣cos⁡x+sin⁡x1−sin⁡xcos⁡x∣\tan \theta = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2}\right| = \left|\frac{\cos x - (-\sin x)}{1 + \cos x(-\sin x)}\right| = \left|\frac{\cos x + \sin x}{1 - \sin x \cos x}\right|Поскольку в точках пересечения cos⁡x=sin⁡x\cos x = \sin x, то ∣cos⁡x+sin⁡x∣=∣2sin⁡x∣=2⋅22=2|\cos x + \sin x| = |2\sin x| = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}. Знаменатель равен 1−12=121 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
Тогда:tan⁡θ=21/2=22\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{1/2} = 2\sqrt{2}Следовательно, угол пересечения θ=arctan⁡(22)\theta = \arctan(2\sqrt{2}).
Демидович № 1062 — решение