Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1059

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1059

Функцииy=xиy=x+0,01sin⁡1000πxy=x
\qquad\text{и}\qquad
y=x+0{,}01\sin1000\pi xотличаются друг от друга не больше чем на 0,010{,}01. Что можно сказать о
максимальном значении разности производных этих функций?

Построить соответствующие графики.
Ответ:ЕслиΔ(x)=g′(x)−f′(x)\Delta(x)=g'(x)-f'(x)тоmax⁡Δ(x)=10πmin⁡Δ(x)=−10πmax⁡∣Δ(x)∣=10π\max\Delta(x)=10\pi
\qquad
\min\Delta(x)=-10\pi
\qquad
\max|\Delta(x)|=10\pi

Решение

Идея

Обозначим функции черезf(x)=xg(x)=x+0,01sin⁡1000πxf(x)=x
\qquad
g(x)=x+0{,}01\sin1000\pi xИх разность равнаg(x)−f(x)=0,01sin⁡1000πxg(x)-f(x)=0{,}01\sin1000\pi xПоэтому∣g(x)−f(x)∣⩽0,01|g(x)-f(x)|\leqslant0{,}01То есть график gg целиком находится в узкой вертикальной полосе между
прямыми y=x−0,01y=x-0{,}01 и y=x+0,01y=x+0{,}01.
  1. 1
    Теперь найдём производные:f′(x)=1f'(x)=1g′(x)=1+10πcos⁡1000πxg'(x)=1+10\pi\cos1000\pi xЕсли разность производных брать в порядке g′−f′g'-f', тоg′(x)−f′(x)=10πcos⁡1000πxg'(x)-f'(x)=10\pi\cos1000\pi xСледовательно,−10π⩽g′(x)−f′(x)⩽10π-10\pi\leqslant g'(x)-f'(x)\leqslant10\piМаксимальное значение разности равноmax⁡(g′(x)−f′(x))=10π\max\bigl(g'(x)-f'(x)\bigr)=10\piОно достигается при1000πx=2πkx=k500k∈Z1000\pi x=2\pi k
    \qquad
    x=\frac{k}{500}
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Минимальное значение равно −10π-10\pi и достигается приx=2k+11000k∈Zx=\frac{2k+1}{1000}
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Таким образом, максимальный модуль разности производных также равенmax⁡∣g′(x)−f′(x)∣=10π\max|g'(x)-f'(x)|=10\piХотя исходные функции отличаются не более чем на одну сотую, их
    производные могут отличаться приблизительно на 31,431{,}4. Причина состоит в
    очень высокой частоте малых колебаний функции gg.
  2. 2

    Построение графика

    На первом рисунке в увеличенном масштабе показаны сами
    функции. Синяя прямая y=xy=x проходит внутри быстрых розовых колебаний
    амплитуды 0,010{,}01. На втором рисунке показаны производные: постоянная
    f′(x)=1f'(x)=1 и функция g′(x)=1+10πcos⁡1000πxg'(x)=1+10\pi\cos1000\pi x, колеблющаяся с большой
    амплитудой. На выбранном отрезке видны шесть полных периодов и небольшие
    краевые фрагменты.график к задаче Демидовича № 1059график к задаче Демидовича № 1059

Проверка

Ответ. ЕслиΔ(x)=g′(x)−f′(x)\Delta(x)=g'(x)-f'(x)тоmax⁡Δ(x)=10πmin⁡Δ(x)=−10πmax⁡∣Δ(x)∣=10π\max\Delta(x)=10\pi
\qquad
\min\Delta(x)=-10\pi
\qquad
\max|\Delta(x)|=10\pi
Демидович № 1059 — решение и ответ