Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1080

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что трактриса

x=a\left(\ln\tan\frac t2+\cos t\right),\qquady=a\sin t,\qquad(a>0,\ 0<t<\pi)

имеет отрезок касательной постоянной длины.

Доказательство

Длина отрезка касательной

L

от точки касания до оси абсцисс вычисляется по формуле:

L = \left| \frac{y}{y'_x} \sqrt{1 + (y'_x)^2} \right|

Найдём производные по параметру

t

x'_t = a\left( \frac{1}{\tan\frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2\cos^2\frac{t}{2}} - \sin t \right) = a\left( \frac{1}{\sin t} - \sin t \right) = a \frac{1-\sin^2 t}{\sin t} = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}

y'_t = a\cos t

При

t\ne\pi/2

найдём производную

y'_x

y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{a\cos t}{a \frac{\cos^2 t}{\sin t}} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t

Подставим

y(t)

y'_x(t)

в формулу длины:

L = \left| \frac{a\sin t}{\tan t} \sqrt{1 + \tan^2 t} \right| = \left| a\sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{1}{|\cos t|} \right| = |a| = a

Поскольку

a

— константа, длина отрезка касательной постоянна и равна

a

, что и требовалось доказать.

Проверка

Осталось

t_0=\pi/2

. Здесь

M=(0,a)

. При

h\to0

положим

s=\sin h

. Из формулы

\tan(\pi/4+h/2)=\sqrt{(1+s)/(1-s)}

получаем

x=a\left(\frac12\ln\frac{1+s}{1-s}-s\right),\qquad y=a\cos h.

Двусторонний предел из №894 даёт

\ln(1+s)=s-s^2/2+o(s^2)

\ln(1-s)=-s-s^2/2+o(s^2)

. Поэтому

x=o(s^2)=o(h^2)

, тогда как

y-a=a(\cos h-1)\sim-ah^2/2

. Получаем

x/(y-a)\to0

: касательная вертикальна, её уравнение

x=0

. Отрезок от

(0,a)

до оси

Ox

имеет ту же длину

a

Что и требовалось доказать